（讲义）第1章 §1 周期变化-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§1　周期变化 1．了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．(难点) 2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．(难点、重点) 3．能够利用函数的周期性求值．(重点) 1．通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养． 2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养． 在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现．我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题． 你还能列举日常生活中周期变化的实例吗？ 知识点1　周期函数的概念 一般地，对于函数y＝f (x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． 1．(1)是否所有的函数都是周期函数？ (2)周期函数的周期唯一吗？ [提示]　(1)不是．如y＝x＋1就不是周期函数． (2)周期函数的周期不唯一．如果T是函数f (x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f (x)的周期． 某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期． 10　[4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．] 知识点2　最小正周期 如果在周期函数y＝f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f (x)的最小正周期． 2．所有的周期函数都有最小正周期吗？ [提示]　不是．如常函数的周期是任意非零实数，不存在最小正数． 类型1　周期现象 【例1】　水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？ [解]　因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈， 所以1小时内水车转12圈． 又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升， 所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)， 所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升). [母题探究] 利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？ [解]　设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)， 所以y＝×160＝32x， 为使水车盛800升的水，则有32x≥800， 所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟． 1．周期现象的判断 首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断． 2．收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观地发现函数的周期性． [跟进训练] 1．(多选题)下列现象是周期现象的是(　　) A．日出日落 B．潮汐 C．海啸 D．地震 AB　[AB是周期现象，CD不是周期现象，故选AB．] 类型2　周期函数 【例2】　已知函数f (x)满足f (x)f＝13，求证：f (x)是周期函数． [证明]　由已知得f＝， 所以f＝＝＝f (x). 所以f (x)是周期函数，4是它的一个周期． 1．判定一个函数是周期函数需分两步 (1)先猜想出其周期； (2)用周期函数的定义证之． 2．周期函数的两个常用结论 (1)若存在非零常数a，使函数f (x)在定义域上满足：f＝－f (x)，则f (x)是周期函数，其周期为2a. (2)若存在非零常数a，使函数f (x)在定义域上满足：f＝，则f (x)是周期函数，其周期为2a． [跟进训练] 2．已知函数f (x)满足f＝，求证：f (x)是周期函数． [证明]　由已知得，f＝＝＝＝－. 所以f＝－＝－＝f (x). 所以f (x)是周期函数，4是它的一个周期． 类型3　周期函数的应用 【例3】　设f (x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f＝－f (x)，当0≤x≤1时，f (x)＝x. (1)求f (π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f (x)的图象与x轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x)的单调递增(或减)区间． 以f (x＋2)＝－f (x)为切入点，思考f (x)是否具有周期性：并结合f (x)是R上的奇函数思考f (x)在[－4，4]上的图象，进而发现规律求得f (x)的单调区间． [解]　 (1)由f＝－f (x)，得f＝－f＝－＝f (x)， 所以f (x)是以4为周期的周期函数， ∴f (π)＝f＝f＝－f＝－＝π－4. (2)由f (x)是奇函数与f＝－f (x)， 得f ＝－f＝f， 即f＝f. 故知函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称． 又0≤x≤1时，f (x)＝x，且f (x)的图象关于原点成中心对称，则f (x)的图象如图所示． 当－4≤x≤4时，f (x)的图