专题13 阿氏圆模型-冲刺2024年中考几何专项复习（全国通用）

阿氏圆模型巩固练习（基础） 1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（　　） A．4 B． C． D． 2．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 　 　． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，A（16，0），B（0，12），点C是第一象限的动点且OC＝6，线段OC绕点O在第一象限转动； （1）在转动过程中，求点C到AB的最近距离＝　 　； （2）试求的最小值＝　 　． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　 　． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则ADBD的最小值为 　 　． 6．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PCPD的最小值为 　 　． 7．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上． （I）的值为　 　； （Ⅱ）是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A，E'B，当E'AE'B的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明）　 　． 8．已知，AB是⊙O的直径，AB，AC＝BC． （1）求弦BC的长； （2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值； （3）如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阿氏圆模型巩固练习（基础） 1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（　　） A．4 B． C． D． 【分析】在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，证明△APQ∽△ABP，可得PQPB，则PC+PQ，当C、Q、P三点共线时，PC+PQ的值最小，求出CQ即为所求． 【解答】解：在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ， ∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点， ∴， ∵AP＝2，AQ＝1， ∴， ∵∠PAQ＝∠BAP， ∴△APQ∽△ABP， ∴PQPB， ∴PC+PQ≥CQ， 在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1， ∴QB， ∴的最小值， 故选：C． 【点评】本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 　　． 【分析】在y轴上取点H（0，9），连接BH，通过证明△AOP∽△POH，可证HP＝3AP，则3PA+PB＝PH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，即可求解． 【解答】解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH， ∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9）， ∴AO＝1，OB＝2，OH＝9， ∵，∠AOP＝∠POH， ∴△AOP∽△POH， ∴， ∴HP＝3AP， ∴3PA+PB＝PH+PB， ∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长， ∴BH， 故答案为：． 【点评】本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，A（16，0），B（0，12），点C是第一象限的动点且OC＝6，线段OC绕点O在第一象限转动； （1）在转动过程中，求点C到AB的最近