专题09 阅读、探究、拓展类试题-2023-2024学年九年级数学上学期期末必刷题型专题训练（华东师大版）

09阅读、探究、拓展类试题 1．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，当均为整数时，则，．（均用含m、n的式子表示） （2）若，且均为正整数，分别求出的值． 【拓展延伸】 （3）化简__________． 2．阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________． (2)应用：化简． (3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数） 3．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： (1)化简：__________； (2)化简： 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽． (3)黄金矩形ABCD的长____________； (4)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论： (5)在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________． 4．【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　 　 (2)当时，的最小值为 　 　； (3)当时，求的最大值． 5．综合与实践 【问题提出】 勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比．    【初步感知】 （1）如图1，若，求黄金比的值． 【类比探究】 （2）如图2，在△ABC中，是边上一点，将△ABC分割成两个三角形（），若，则称为△ABC的黄金分割线． ①求证：点是线段的黄金分割点； ②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在△ABC中，为上的一点（不与，重合），过作，交于，，相交于，连接并延长，与，分别交于，．请问直线是△ABC的黄金分割线吗？并说明理由． 6．某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 ；； ；； ；． 【猜想结论】 如果，，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】 ∵ ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 (1)对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ (2)对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】 (3)疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积为6m2．问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？ 7．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】： （3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由． （5）若，求的最小值．    8