2024年高考数学尖子生拓展练8：圆锥曲线中非对称韦达定理的应用

培优点8　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用 1．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)若＝2，求直线AB的斜率． 2．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6＋4，面积为c. (1)求E的方程； (2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则________．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答) ①求直线AC和BD交点的轨迹方程； ②是否存在实常数λ，使得k1＝λk2恒成立； ③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点． 3．(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上． 4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，M，N分别为左、右顶点，直线l：x＝ty＋1与椭圆C交于A，B两点，当t＝－时，A是椭圆的上顶点，且△AF1F2的周长为6. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AM，BN交于点Q，证明：点Q在定直线上． (3)设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值． 5．(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，且点P在C上． (1)求C的方程； (2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且＝7，求l的斜率． 6．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，且＝，求△OPQ的面积及直线l的方程． 参考答案 1．解　(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴22＝2p×1，解得p＝2. 故抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1. (2)方法一　由(1)可知F(1,0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线AB的方程可设为x＝ty＋1， 联立 整理得y2－4ty－4＝0， 所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 又＝2， 即(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)， 可得－y1＝2y2，即＝－2， 则＋＝－2＝－， 即－2＝－， 解得t＝±，故kAB＝－＝±2. 方法二　A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)， ＝(1－x1，－y1)，2＝(2x2－2,2y2)， ＝2⇒ ⇒ ∵A，B在抛物线上， ∴ 由①②③④联立可得x2＝， 则y2＝±， 由③－④得(y1＋y2)(y1－y2) ＝4(x1－x2)， 即kAB＝＝ ＝＝－＝±2. 2．解　(1)依题意， 得 即解得 所以E的方程为＋y2＝1. (2)选择①.设直线l的方程为 x＝ty＋， 联立方程 化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0， 假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得 得ty1y2＝(y1＋y2)， 直线AC的方程为y＝(x＋3)， 直线BD的方程为y＝(x－3)， 联立方程，得 两式相除，得＝· ＝＝＝＝＝＝＝3， 即＝3，解得x＝6， 所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x＝6. 选择②.联立方程 化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0， 假设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由韦达定理，得 得ty1y2＝(y1＋y2)， 于是＝·＝＝＝＝＝ ＝＝， 故存在实数λ＝，使得k1＝λk2恒成立． 选择③.设C(x1，y1)，D(x2，y2)， C′(x1，－y1)， 联立方程 化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0， 由韦达定理，得 设直线C′D与x轴交于点M(m,0)，由对称性可知kCM＋kDM＝0， 即＋＝0， 则y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝0， 所以y1(x2－m)＋y2(x1－m) ＝x1y2＋x2y1－m(y1＋y2) ＝y2＋y1－m(y1＋y2)＝2ty1y2＋(y1＋y2) ＝2t·＋·＝0， 即－9t＋(3－2m)·(－t)＝0，解得m＝6， 所以直线C′D恒过定点M(6,0)． 3．(1)解　设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)， 由焦点坐标可知c＝2， 则由e＝＝， 可得a＝2，b＝＝