2023年北师大版九年级数学中考复习题——阅读和动点专题练习

2023年北师大版九年级数学中考复习题——阅读和动点专题练习 1、我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？ 探究方法： 用两条直角边分别为a、b的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形，若a≠b，可以拼成如图①的正方形，从而得到a2+b2，即a2+b2＞2ab；若a=b，可以拼成如图②的正方形，从而得到a2+b2，即a2+b2=2ab． 于是我们可以得到结论：a，b为正数，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab． 另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论． ∵（a﹣b）2﹣2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab，∴对于任意实数a，b，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab． 仿照上面的方法，对于正数a，b试比较a+b和2的大小关系． 类比应用 利用上面所得到的结论，完成填空： （1）x2+≥　　，代数式x2+有最　　值为　　． （2）当x＞0时，x+≥　　，代数式x+有最　　值为　　． （3）当x＞2时，x+　　，代数式x+有最　　值为　　． 问题解决： 若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？ 2、模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧 的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答． （1）理由：如图③，在直线L上任取一点C′，连结AC′，BC′，B′C′． ∵直线L是点B，B′的对称轴，点C，C′在L上． ∴CB=　　，C′B=　　 ∴AC+CB=AC+CB′=　　． 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′． ∴AC+CB＜AC′+C′B′． ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小 归纳小结： 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两 点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）． 本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． （2）模型应用 如图④，正方形 ABCD 的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点． 求EF+FB的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段　　的长度，EF+FB的最小值是　　． 如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是　　． 如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x、y轴分别交于点A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA、AB的中点，点P为OB上一动点．求PC+PD取得最小值时P点坐标． 3、设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． （1）阅读填空 如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFFH与ABCD等积． 理由：连接AH，EH． ∵AE为直径∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠HEA=90°． ∵DH⊥AE∴∠ADH=∠EDH=90° ∴∠HAD+∠AHD=90° ∴∠AHD=∠HED∴△ADH∽　　． ∴，即DH2=AD×DE． 又∵DE=DC∴DH2=　　．即正方形DFGH与矩形ABCD等积． （2）类比思考 平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． （3）解决问题 三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的　　（填写图形各称），再转化为等积的正方形． 如图②，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助作出与△ABC等积的正方形的一条边． （不要求写具体作法，但要保留作图痕迹） （4）拓展探究 n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为n﹣1边形，…，直至转化为等积三角形，从而可以化方． 如图③，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助网格作出与四边形ABCD等积的三角形