专题05 解题技巧专题：特殊平行四边形的最值、动点问题（题型专攻）-2023-2024学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题05 特殊平行四边形的最值、动点问题 题型导航 题型1最值问题 题型2动点问题 题型变式 【题型1】最值问题 例题．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形中，，，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【题型2】动点问题 例题．（2023春·八年级单元测试）如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【变式2-1】 1．（2023春·八年级单元测试）如图，在四边形中， ，， ，，．点从点出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为ts． (1)若点P和点Q同时运动了6秒，与有什么数量关系？并说明理由； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 专项训练 一．选择题 1．（2022春·八年级单元测试）在直角坐标系中，点在直线上，为原点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（2023·山东德州·统考二模）如图，矩形中，，，点，分别是，上的动点，，则最小值是（    ）    A．13 B．10 C．12 D．5 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形中，，，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 5．（2023·黑龙江·统考模拟预测）如图，正方形的边长为6，E，F分别为上两点，且，作．交于点G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当时，的面积为6；④CH的最小值是．其中结论正确的序号是（   ）    A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题 6．（2023·湖南娄底·统考二模）如图，在边长为4的正方形中，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则线段的最小值为___________．    7．（2023春·福建厦门·八年级统考期中）如图，菱形的边长为4，，M为的中点，点N在上．若N是上动点，则的最小值为_________． 8．（2022春·九年级单元测试）如图，菱形的两条对角线长分别为和，点是对角线上的一个动点，点，分别是边，的中点，则的最小值是________．    9．（2023·四川凉山·统考一模）如图，正方形的边长为，分别是边上一点，且，连接交于点，则线段的最小值为___________    10．（2023·山东泰安·校考二模）如图，在中，，，点D是边的中点，点Q是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是______．    11．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在矩形中，，，有一动点P以的速度沿着B-C-D的方向移动，连接，将沿折叠得到，则经过__________，点落在边所在直线上． 12．（2022春·九年级单元测试）如图，在菱形中，，，为边的中点，为边上一动点（不与点重合），将沿直线折叠，使点落在点处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为________．    三、解答题 13．（2023·海南省直辖县级单位·统考二模）如图1，四边形是一个边长为4的正方形，点E和F分别是边和上的动点（点E与点A，B不重合，点F与点A，D不重合），且，连接，相交于点G．    (1)求证：； (2)如图2，当点E、F运动到中点时， ①求证：； ②求的长； ③连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由． 14．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，在直角梯形中