专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 指数幂与对数式的化简求值】 2 【题型2 指对幂函数的定义与解析式】 3 【题型3 指对幂函数的定义域与值域】 4 【题型4 指对幂函数的图象的识别与应用】 4 【题型5 指对幂函数的单调性问题】 5 【题型6 指对幂比较大小】 6 【题型7 利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】 6 【题型8 反函数及其应用】 7 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 8 1、幂函数与指、对数函数 幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 【知识点1 幂函数的解题技巧】 1.幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2.幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3.比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点2 指数、对数运算的解题策略】 1.指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 2.对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】 1．指数函数的常见问题及解题思路 (1)比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； ②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. (2)指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. (3)指数型函数的解题策略 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 2．对数函数的常见问题及解题思路 (1)对数函数图象的识别及应用 ①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. ②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. (2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型1 指数幂与对数式的化简求值】 【例1】（2023·山东·校联考模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）计算： (1)； (2). 【变式1-3】（2023·吉林长春·长春校考模拟预测）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【题型2 指对幂函数的定义与解析式】 【例2】（2022上·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2-2】（2023上·吉林长春·高一校考期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【变式2-3】（2023上·高一课时练习）若函数是