考点08 正余弦定理讲义-2024届新高考艺体生一轮复习

考点08 正余弦定理 1． 正余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 变形 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； asin B＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 使用条件 1.两角一边求角 2.两边对应角 1.三边求角 2.两边一角求边 二.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： 1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； 2.若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； 3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； 4.代数式变形或者三角恒等变换前置； 5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； 6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 考点一 正余弦定理的选择 【例1-1】（2023·内蒙古通辽）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 【例1-2】（2023·广东）在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A．7 B．19 C． D． 【例1-3】（2023·浙江金华）在中，角所对的边分别为，若，则角（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023·江苏徐州）在中，边长，则边长（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东青岛）在中，角的对边分别为，，，．则 ． 3．（2023·新疆）在中，已知，，，则 . 4．（223·广东珠海）在中，已知，则 ； 5．（2023下·河南郑州·高一郑州中学校考期末）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（    ） A． B． C． D． 考点二 边角互换常见形式 【例2-1】（2023·重庆巴节选）在中，角所对的边分别为，，角= 。 【例2-2】（2023·海南海口节选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，A的大小为 【例2-3】（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】 1.（2023·河南节选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.A= 2.（2023·甘肃陇南:）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，角= 3.（2023·云南·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，:，求角= 4.（2023·福建泉州·统考模拟预测节选）的内角所对的边分别为，且满足，= 5．（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足，角= 考点三 三角形的周长与面积 【例3-1】（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【例3-2】（2022·北京·统考高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【变式】 1．（2023·陕西西安）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 2．（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）在锐角中，，，分别为角、、所对的边，且. (1)求角. (2)，，求的面积. 3．（2023上·湖北宜昌·高三统考期中）在中，内角的对边分别为，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的周长和面积． 考点四 正余弦定理在几何中应用 【例4-1】（2023·重庆江津）如图，在中，已知，是边上的一点，，，. （1）求的面积； （2）求边的长. 【例4-2】（2023·广东珠海）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)已知，D为边上的一点，若，，求的长． 【变式】 1．（2022·广东湛江·二模）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向