考点07 三角函数的性质讲义-2024届新高考艺体生一轮复习

考点07 三角函数的性质 一．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 函数的最值 最大值1，当且仅当x＝2kπ＋ 最小值－1，当且仅当x＝2kπ－ 最大值1，当且仅当x＝2kπ， 最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π， 无最大值和最小值 单调性 增区间 [k·2π－，k·2π＋](k∈Z)； 减区间 [k·2π＋，k·2π＋](k∈Z) 增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)； 减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z) 增区间 (k·π－，k·π＋)(k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 周期为2kπ，k≠0，k∈Z， 最小正周期为2π 周期为2kπ，k≠0，k∈Z， 最小正周期为2π 周期为kπ，k≠0，k∈Z， 最小正周期为π 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z 二．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1.在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 2.在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 3.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 三．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 1.两种途径：纵坐标保持不变，横坐标的变化 （1）先伸缩（ω）后平移（） （2）先平移（）后伸缩（ω） 2.伸缩平移的规律 3.左右平移时应注意的三点 （1）平移方向：弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象． （2）函数名称：注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为而不是|φ|，即平移时x前的系数必须为1 四．解题思路总结 解决三角函数性质的有关问题时，要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值与A的符号有关，例子如下 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质，采用都是“整体代入” 1.奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数（影响奇偶性的是φ，依据为诱导公式奇变偶不变符号看象限） 2.周期性：(1)定义法，即利用周期函数的定义求解. (2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)观察法，即通过观察函数图象求其周期. 3单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间（影响单调性主要是A和ω，两者同号求增代增，异号求增代减，依据为复合函数的“同增异减”） 4对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得其对称中心． 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴． 考点一 五点画图法 【例1-1】（2023·河南省）用五点法作出函数在一个周期内的图象 【变式】 1．（2023·全国·随堂练习）画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验： (1)；(2)；(3)(4)． 2.（2023·课时练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ （1）；（2）；（3）. 考点二 周期 【例2-1】（2023湖南）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 【例2-2】（2023·全国·假期作业）（多选）下列函数中，是周期函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式】 1．（202·安徽六安）（多选）下列函数中，最小正周期为的有（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江西上饶）（多选）下列函数，最小正