热点5-1 等差数列的通项及前n项和（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点5-1 等差数列的通项及前n项和 主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道选择题和一道解答题。 【题型1 等差数列的基本量计算】 满分技巧 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【例1】（2023·四川乐山·统考一模）设等差数列的前项和，若，，则（ ） A．63 B．51 C．45 D．27 【变式1-1】（2023·全国·高三校联考期中）记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是（ ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 【题型2 等差数列性质的应用】 满分技巧 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 【例2】（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A．60 B．120 C．180 D．240 【变式2-1】（2023·山东济宁·高三统考期中）设等差数列的前n项和为，已知，，则（ ）． A．32 B．64 C．80 D．128 【变式2-2】（2023·上海·高三校考期中）已知数列是等差数列，，则 . 【变式2-3】（2023·河南·高三校联考期中）（多选）记等差数列的前n项和为，则根据下列条件能够确定的值的是（ ） A． B． C．， D．， 【题型3 等差数列的单调性及应用】 满分技巧 当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列． 【例3】（2022·广东惠州·统考一模）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（ ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二校考阶段练习）（多选）设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A．数列是递减数列 B． C．当时， D． 【变式3-3】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（ ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【题型4 等差数列前n项和性质应用】 满分技巧 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【例4】（2024·四川宜宾·南溪第一中学校校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）等差数列、的前项和分别为与，且，则（ ） A． B．