专题16 类比归纳专题：切线证明的常用方法之二大类型-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题16 类比归纳专题：切线证明的常用方法之二大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 1 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 16 【典型例题】 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 例题：（2023上·云南昭通·九年级校考期中）如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．（2023上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 2．（2023·广东佛山·校考一模）如图，已知中，，以为直径的圆交于，交于 ． (1)若，求证：为的切线． (2)若为的切线，，，求的长． 3．（2023上·湖北荆门·九年级校考期中）如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，点F在上，且． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，，求半圆O的半径长． 4．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，中，以为直径的交于点E，平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 5．（2023上·广东中山·九年级校考期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，是的外接圆．    (1)求证：是的切线； (2)过点作，垂足为，求证：； (3)若，，求长． 6．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，是的直径， ，与相交于点E，D 是的中点，直线与直线相交于点F．    (1)求证：是的切线． (2)已知，当长度变化时，的长也随之变化． ①当 时， ②在整个变化过程中，的长是否存在最大值？ 判断并说明理由． 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．    【变式训练】 1．（2023上·福建南平·九年级统考期中）如图，以矩形的边为直径作半圆，圆心为点O，点E在边上，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长. 2．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，是的角平分线，点O是上一点，与相切于点M，与交于点E、F．    (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的度数． 3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若的半径为，求正方形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 类比归纳专题：切线证明的常用方法之二大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 1 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 16 【典型例题】 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 例题：（2023上·云南昭通·九年级校考期中）如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆切线的判定与性质 （1）连接，利用求证即可求证即得证； （2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：证明：如图，连接OD ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 在与中 ∴(SAS) ∴ ∵AC是切线． ∴ ∴ ∵点D在上，OD为半径，且 ∴CE是的切线 （2）解：∵CE是的切线 ∴ 设半径为，在Rt中，，由勾股定理得： ∵， ∴ 解得： ∵ ∴ 设，在Rt中，，由勾股定理得： ∴ 解得： ∴CD的长为6 【变式训练】 1．（2023上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线； （2）连接，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，代入求出，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∵是的半径， ∴是