4.5 三角形的中位线-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

４．５　三角形的中位线 知识点　三角形的中位线 三角形的中位线的定义 定义 符号表示 连结三角形两边 中点的线段 A E F B CD 在 △ABC 中,D, E,F 分别是边BC, AB,CA 的中点,则 线段 DE,EF,FD 都 是 △ABC 的 中 位线 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 注意:三角形的中位线与三角形的中线的异同点: (１)不同点:三角形的中位线的两个端点是三角形 两条边的中点,三角形的中线的端点一个是顶点, 一个是对边的中点;三角形的三条中位线围成了一 个三角形,三角形的三条中线相交于三角形内的 一点． (２)相 同 点:都 有 三 条,都 在 三 角 形 的 内 部,都 是 线段． 三角形的中位线定理 定理 符号表示 三角形的中位线平行 于第三边,并且等于 第三边的一半 A D E B C 因为DE 是△ABC 的中位线(D,E 分 别为AB,AC 的中 点),所 以 DE 􀱀 １ ２BC 　  由三角形的三条中位线,可 以得出以下结论: (１)三条中位线围成一个三 角形,其周长为原三角形周 长的一半; (２)三条中位线将原三角形 分割成四个全等的三角形; (３)三角形的一条中位线与 第三边上的中线互相平分; (４)过三角形一边的中点, 与另一边平行的直线,必平 分第三条边． ５４１ 　 % 三角形的中位线定理反映 了三角形的中位线与第三 边的双重关系:一是位置关 系,可以证两线段所在直线 平行;二是数量关系,可以 证线段倍分关系． 图４．５Ｇ１ 【例】如图 ４．５Ｇ１,△ABC 中,D,E 分别是BC,AC 的中点,BF 平分 ∠ABC,交DE 于点F,若 BC＝ ６,则DF 的长是 (　　) A．３　　　　　　　　　B．２ C． ５ ２ D．４ 解析:在△ABC 中,D,E 分别是BC,AC 的中点,所以 DE∥AB,所以∠ABF＝∠BFD． 因为 BF 平 分 ∠ABC,所 以 ∠ABF ＝ ∠DBF．所 以 ∠DBF＝∠BFD,所以DF＝BD＝ １ ２BC＝ １ ２×６＝３． 答案:A 　 １．如图４．５Ｇ３,在△ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 的 中 点,∠ADE ＝ ３０°, ∠C＝１２０°,则∠A 等于 (　　) 图４．５Ｇ３ A．６０°　　　　B．４５° C．３０° D．２０° 题型一　与三角形的中位线有关的计算问题　 图４．５Ｇ２ 【例１】如图４．５Ｇ２,在四边形ABCD 中,P 是 对角线BD 的中点,E,F 分别是AB,CD 的 中 点,AD ＝BC,∠FPE ＝１３０°,则 ∠PFE 的度数是 (　　) A．１５°　　　 B．２０°　　　 C．２５°　　　 D．３０° 审题关键:借助三角形中位线的性质判断出△PEF 是 等腰三角形是关键． 解析:因为在四边形 ABCD 中,P 是对角线BD 的中 点,E,F 分别是AB,CD 的中点,所以PF,PE 分别 是△CDB 与△DAB 的中位线,所以 PF＝ １ ２BC , PE＝ １ ２AD． 因为AD＝BC,所以PF＝PE, 所以∠PFE＝∠PEF＝ １ ２× (１８０°－∠FPE)＝ １ ２× (１８０°－１３０°)＝２５°． ６４１ 　答案:C ?  　　在一个图形中,若有较多的中点,可考虑运用 三角形的中位线定理进行线段的转化． 题型二　利用中位线解决实际问题 【例２】某花木场有一块四边形ABCD 的空地(如图４．５Ｇ４), 对角线AC＝BD,各边的中点分别是E,F,G,H,用 篱笆围成的四边形场地EFGH 的周长为４０cm,求对 角线AC 的长． 图４．５Ｇ４ 审题关键:根据已知条件的特点,将四边形问题转化 为三角形问题,通过多次利用三角形中位线的性质确 定EF 的长,进而求得AC 的长． 破题思路:根据E,F 分别为BA,BC 的中点,可知EF 为△ABC 的中位线,根据中位线定理可得 EF＝ １ ２AC ,同理可得 HG＝ １ ２AC ,HE＝ １ ２BD ,FG＝ １ ２BD． 根据两对角线相等可得 EF＝FG＝GH＝ HE,由此可求得EF 的长,进而得到AC 的长． 解:因为 E,F