2.4 一元二次方程根与系数的关系(选学)-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

２．４　一元二次方程根与系数的关系(选学) 　 % 对于二次项系数为１的一 元二次方程x２＋px＋q＝ ０,若 它 有 两 个 实 数 根x１, x２,则x１＋x２＝－p,x１􀅰 x２＝q． 知识点　一元二次方程根与系数的关系 (１)如果x１,x２ 是一元二次方程ax２＋bx＋c＝０的两个 根,那么x１＋x２＝－ b a ;x１􀅰x２＝ c a． (２)一元二次方程根与系数的关系的推导过程: 设一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(b２－４ac≥０)的两个根 为x１,x２,则x１＝ －b＋ b２－４ac ２a ,x２＝ －b－ b２－４ac ２a ． 所以x１＋x２＝ －b＋ b２－４ac ２a ＋ －b－ b２－４ac ２a ＝ －b＋ b２－４ac－b－ b２－４ac ２a ＝－ b a ; x１􀅰x２＝ －b＋ b２－４ac ２a 􀅰－b－ b ２－４ac ２a ＝ (－b)２－(b２－４ac)２ ４a２ ＝ ４ac ４a２＝ c a． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　注意: 一元二次方程根与系数的关系存在的两个前提条件 (１)方程是一元二次方程,即二次项系数a≠０; (２)方程有实根,即b２－４ac≥０． 【例】(四川凉山州中考)一元二次方程３x２－１＝２x＋５ 两实根的和与积分别是 (　　) A． ３ ２ ,－２　　B． ２ ３ ,－２　　C．－ ２ ３ ,２　　D．－ ３ ２ ,２ 解析:设这个一元二次方程的两个根分别为x１,x２, 一元二次方程３x２－１＝２x＋５化为一般形式为３x２－ ２x－６＝０, 所以x１＋x２＝ ２ ３ ,x１x２＝ －６ ３ ＝－２． 故选B． 答案:B ２６ 　　　 题型一　一元二次方程根与系数的 关系的应用 已知一根求另一根和待定字母的值 【例１】已知关于x 的一元二次方程x２－２x＋m＝０的 一个根是３,求方程的另一个根及m 的值． 审题关键:可把x＝３代入求值,也可利用根与系数的 关系求值． 破题思路:思路１:代入x＝３→求m→解方程→得到 另一个根． 思路２:先利用x１＋x２＝－ b a 求出另一个根,再利用 x１x２＝ c a 求出m． 解:方法１:把x＝３代入x２－２x＋m＝０,得m＝－３． 所以原方程为x２－２x－３＝０． 解得x１＝－１,x２＝３． 所以方程的另一个根为－１． 方法２:设x２－２x＋m＝０的另一个根为x１, 则３＋x１＝２． 所以x１＝－１． 由根与系数的关系,得m＝３×(－１)＝－３． 所以方程的另一个根为－１,m 的值为－３． " 　　若待定字母在一次项系数中,先用两根积的关 系求出另一根,再代入原方程求待定字母,或者用 两根和的关系求待定字母;若待定字母在常数项 中,先用两根和的关系求出另一根,再代入原方程 求待定字母,或者用两根积的关系求待定字母． 　 １．已知关于x 的一元二次 方程x２＋mx－８＝０的 一个实数根为２． (１)求另一个实数根; (２)求m 的值． ３６ 　２．已知一元二次方程x２＋ ３x－４＝０的两个根分别 为x１,x２,求x２１＋x１x２＋ x２２ 的值． ３．已知一元二次方程x２＋ ３x－１＝０的两个根分别 是x１,x２,请利用根与系 数 的 关 系 求 下 列 各 式 的值: (１)x２１＋x２２; (２) １ x１ ＋ １ x２ ．
利用根与系数的关系求与两根有关的代数式的值 【例２】设x１,x２ 是方程２x２＋４x－３＝０的两个根,利用 根与系数的关系,求下列各式的值: (１)(x１＋２)(x２＋２);　　　　(２) x２ x１＋ x１ x２． 审题关键:要把代数式变形为用x１＋x２ 和x１x２ 表示 的形式,才可以利用根与系数的关系求值． 破题思路:先确定a,b,c的值,再求出x１＋x２ 与x１x２ 的值,最后将所求式子适当变形,把x１＋x２ 与x１x２ 的值整体代入求值即可． 解:这里a＝２,b＝４,c＝－３． 根据根与系数的关系,得x１＋x２＝－２,x１x２＝－ ３ ２． (１)(x１＋２)(x２＋２)＝x１x２＋２(x１＋x２)＋４ ＝－ ３ ２＋２× (－２)＋４＝－ ３ ２． (２) x２ x１＋ x１ x２＝ x２２＋x２１ x１x２ ＝ (x１＋