第1章 直角三角形 章末整合提升-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①C　②F　③F　④E　⑤A　⑥H　⑦C　⑧D　⑨A　⑩B　􀃊􀁉􀁓G　􀃊􀁉􀁔G 考点一　直角三角形的性质与判定 直角三角形的性质主要表现在角与 角、边与边、边与角以及斜边上的中线等 方面,这些性质是证明角相等、线段相等 或成倍数关系的主要依据,当题目中出 现直角三角形这一条件时,我们应该联 想到这些性质． 直角 三 角 形 的 判 定 方 法 一 般 有 两 种,一是根据角,二是根据三边之间的关 系,即勾股定理的逆定理． 例 １ 在 Rt△ABC 中,AB ＝BC,在 Rt△ADE中,AD＝DE,连接 EC,取 EC 的中点M,连接 DM 和BM．若点 D 在边AC 上,点E 在边AB 上且与 ３４ 点B 不重合,如图１Ｇ１,探索BM,DM 的关系并给予证明． 图１Ｇ１ 解:BM＝DM,BM⊥DM．证明如下: 在 Rt△EBC 中,点 M 是斜边EC 的 中点, 所以BM＝ １ ２EC＝EM＝MC． 所以∠EMB＝２∠ECB． 在 Rt△EDC 中,点 M 是斜边EC 的 中点, 所以DM＝ １ ２EC＝EM＝MC． 所以∠EMD＝２∠ECD． 所以BM＝DM,∠BMD＝∠EMD＋ ∠EMB＝２(∠ECD＋∠ECB)． 因为∠ECD＋∠ECB＝∠ACB＝４５°, 所以∠BMD＝２∠ACB＝９０°, 即BM⊥DM． 考点二　勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理的应用,题型主要体现在 以下五个方面: (１)已知直角三角形的任意两条边, 求第三边; (２)已知直角三角形的一边,求另两 条边的关系; (３)证明线段长度的平方关系; (４)借助勾股定理构造方程,解决实 际问题; (５)用勾股定理,在数轴上作出长为 n(n 为正整数,n≥１)的线段． 勾股定理的逆定理主要用于判定一 个三角形为直角三角形．一般不直接考 查,多与其他知识结合考查． 例２如图１Ｇ２,将长方形ABCD 沿直线 BD 折叠,使点C 落在点C′处,BC′交 AD 于 点 E,AD ＝８,AB＝４,求 △BED 的面积． 图１Ｇ２ 解:因为AD∥BC,所以∠２＝∠３． 因为△BC′D 与△BCD 关于直线BD 对称, 所以∠１＝∠２,所以∠１＝∠３, 所以EB＝ED． 设DE＝x,则EB＝x, AE＝AD－DE＝８－x． 在Rt△ABE 中,AB２＋AE２＝EB２, 所以４２＋(８－x)２＝x２,解得x＝５, 所以DE＝５, 所以S△BED ＝ １ ２DE 􀅰AB＝ １ ２×５× ４＝１０． 考点三　直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定方法经常用 到的有SAS、ASA、AAS及 HL四个,实 际应用时由于直角一定相等,而第二个 条件往往是已知或容易找到的,故寻找 第三个条件就成为解题的关键,这需要 讲究一定的方法和技巧． 例３ 如图１Ｇ３,在△ABC 中,AB＝CB, ∠ABC＝９０°,点F 为AB 延长线上一 点,点E 在BC 上,且AE＝CF． ４４ 图１Ｇ３ (１)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF; (２)若∠CAE＝３０°,求∠ACF 的度数． (１)证明:因为∠ABC＝９０°, 所以∠CBF＝∠ABE＝９０°． 在Rt△ABE 和Rt△CBF 中, AE＝CF,AB＝CB, 所以Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． (２)解:因为AB＝BC,∠ABC＝９０°, 所以∠CAB＝∠ACB＝４５°． 又因为∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝ ４５°－３０°＝１５°, 且Rt△ABE≌Rt△CBF, 所以∠BCF＝∠BAE＝１５°, 所以 ∠ACF ＝ ∠ACB ＋ ∠BCF ＝ ４５°＋１５°＝６０°． 考点四　角平分线的性质定理及其逆定理 角平分线的性质定理及其逆定理中 的条件与结论恰好相反,因此它们的作 用不同．角平分线的性质定理是证明线段 相等的依据,而角平分线的性质定理的 逆定理是证明角相等的依据．此考点一般 不单独命题,多与三角形、四边形一起综 合考查． 例４如图１Ｇ４,∠B＝∠C＝９０°,点 M 是 BC 的中点,DM 平分∠ADC． (１)连 接 AM,则 AM 是 否 平 分 ∠BAD? 请证明你的结论． (２)线段DM 与AM 有怎样的位置关 系? 请说明理由． 图１Ｇ４ 解:(１)AM 平分∠BAD． 证明:如图１Ｇ５,过点 M 作ME⊥AD, 垂足为点E． 因为DM 平分∠ADC, 所以∠１＝∠２． 因为 MC⊥CD,ME⊥AD, 所以 ME＝MC． 又因为 MC＝MB,所以 ME＝MB． 因为 MB⊥AB,ME⊥AD, 所以AM 平分∠BAD． 图１Ｇ５ (２)AM⊥DM．理由如下: 因为∠B＝∠C＝９０°, 所以DC⊥CB,A