1.2 二次根式的性质-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

１．２　二次根式的性质 知识点一　二次根式的性质 性质 说明 二次根式的非负性: a≥０(a≥０) 因为 a(a≥０)表示a 的算术平方 根,所以由算术平方根的概念可知 a≥０ (a)２＝a(a≥０) 因为 a(a≥０)表示a 的算术平方 根,所以将a 的算术平方根平方,得 (a)２＝a a２ ＝|a|＝ a(a≥０), －a(a＜０){ 根据算术平方根的意义,无论a 是 正数、０或负数,a２ 的算术平方根都 可以记为 a２ ．当a≥０时,a２ ＝a; 当a＜０时,a２ ＝－a．而当a≥０ 时,|a|＝a;当a＜０时,|a|＝－a． 所以 a２ ＝|a| 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　辨析: (a)２(a≥０)与 a２的异同 (a)２(a≥０) a２ 不 同 点 意义 非负数a 的算术平 方根的平方 实数a 的平方的算术 平方根 取值 a 是非负数 a 是任意实数 结果 (a)２＝a(a≥０) a２ ＝|a| ＝ a(a≥０), －a(a＜０){ 相同点 两者都是非负数,且当a≥０时,(a)２＝ a２ 【例１】计算: (１)(４３)２;　(２) (－７)２ ;　(３)( ４ ７ ) ２ － ( － １ ７) ２ ． 　 'F (１)二次根式 a 具有双重 非负性,即 a≥０,且a≥０． (２)常 见 的 三 种 类 型 的 非 负式:|a|,a２ 和 a(a≥０)． ７ 　 'F (１)a,b 可以是数,也可以 是代 数 式,但 都 必 须 是 非 负的． (２)利 用 此 性 质 进 行 化 简 时,被开方数(式)一定要化 成 积 的 形 式,避 免 出 现 a＋b＝ a＋ b的错误． (３)此性质可以推广到根号 下含有多个非负因式(或因 数)的形式,如 abc＝ a× b×c(a≥０,b≥０,c≥０)． 解:(１)(４３)２＝４２×(３)２＝１６×３＝４８． (２) (－７)２ ＝|－７|＝７． (３)( ４ ７ ) ２ － ( － １ ７) ２ ＝ ４ ７－ － １ ７ ＝ ４ ７－ １ ７＝ ３ ７． 计算 a２的两步骤 第１步:将 a２ 化为|a|; 第２步:根据a 的符号去掉绝对值符号． 知识点二　积的算术平方根的性质 符号语言 ab＝ a× b(a≥０,b≥０) 文字语言 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)要使 ab有意义,则被开方式ab≥０．因 此,a 与b同号或至少有一个为０． (２)利用此性质可以化简二次根式,即若一个二次根 式的被开方式中的因数或因式是某个数的平方或完 全平方式,则可以利用性质 ab＝ a× b(a≥０,b≥ ０)及 a２＝a(a≥０)将这些因数或因式开方,从而将 二次根式化简． 【例２】化简: (１)１６×９;　　　(２) (－３６)×(－１００); (３)５４; (４)９x２y２(x≥０,y≥０)． 解:(１)１６×９＝ １６× ９＝４×３＝１２． (２) (－３６)×(－１００)＝ ３６×１００＝ ３６× １００＝ ６×１０＝６０． (３)５４＝ ９×６＝ ９× ６＝３６． (４)９x２y２ ＝ ９× x２ × y２ ＝３xy． ８ 利用积的算术平方根的性质进行二次根式的 化简,关键是将被