1.3 直角三角形全等的判定-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

１．３　直角三角形全等的判定 % (１)“HL”的实质是“SSS”, 因为当直角三角形的一条 直角 边 和 斜 边 对 应 相 等 时,根 据 勾 股 定 理 可 得 另 一条直角边也一定对应相 等,所以“SSS”在直角三角 形中可简化为“HL”． (２)应用“HL”判定两直角 三角 形 全 等 时,切 勿 丢 掉 “Rt”． 'F 证明直角三角形全等的格 式和证明一般三角形全等 的格式不同: (１)带“Rt△”; (２)大括号中含两个条件; (３)结论带“Rt△”． 知识点　斜边、直角边定理 定理 书写格式 斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三 角形全等(可以简写 成“斜边、直角边”或 “HL”) 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中, 因为 AB＝A′B′, BC＝B′C′(或AC＝A′C′),{ 所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)． 　　　 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　注意:已知直角边和斜边作直角三角形要先画出 直角,再分别截取线段的长,其实质是运用“HL” 判定两个直角三角形全等． 【例】如图１．３Ｇ１,已知BC＝AD,∠C＝∠D＝９０°． 求证:Rt△ABC≌Rt△BAD． 图１．３Ｇ１ 证明:因为∠C＝∠D＝９０°, 所以△ABC,△BAD 是直角三角形． 在Rt△ABC 和Rt△BAD 中, 因为 AB＝BA, BC＝AD,{ 所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)． ４２ 　　“HL”是判定直角三角形全等独有的方法,对 于一般三角形不成立．证明直角三角形全等时,应 首先考虑利用“HL”,再考虑利用其他四种判定方 法,但不论用什么方法,至少有一条边对应相等,否 则不能判定两个三角形全等． 　 题型一　综合运用三角形全等的判定方法 证明直角三角形全等 图１．３Ｇ２ 【例１】如图１．３Ｇ２,已知AB＝AC,CD⊥ AB 于点D,BE⊥AC 于点E,CD, BE 相 交 于 点 O,求 证:AO 平 分 ∠BAC． 审题关键:证明线段或角相等时,常将 要证明的线段或角放到可能全等的三角形中． 破题思路:要 证 AO 平 分 ∠BAC,即 证 ∠BAO ＝ ∠CAO．通 过 证 明 △AEB ≌ △ADC,得 到 AE ＝ AD．再利用 HL证得 Rt△AEO≌Rt△ADO,结论 得证． 证明:因为CD⊥AB,BE⊥AC, 所以∠AEB＝∠ADC＝９０°． 在△AEB 和△ADC 中,因为 ∠AEB＝∠ADC, ∠BAE＝∠CAD, AB＝AC, ì î í ï ï ï ï 所以△AEB≌△ADC(AAS)． 所以AE＝AD． 在Rt△AEO 和Rt△ADO 中, 因为 AO＝AO, AE＝AD,{ 所以Rt△AEO≌Rt△ADO(HL), 所以∠DAO＝∠EAO． 所以AO 平分∠BAC． １．如图１．３Ｇ３,D 是△ABC 的边BC 上的一点,BE＝ CE,∠ABE＝∠ACE．求 证:∠BAE＝∠CAE． 图１．３Ｇ３ ５２ ２．如图１．３Ｇ５(示意图),有 两个长度相同的滑梯,左 边滑梯的高度 AC 与右 边滑梯水平方向的长度 DF 相 等,∠ABC 和 ∠DFE 的大小有什么关 系? 并说明理由． 图１．３Ｇ５ ３．(１)如图１．３Ｇ７,点A,C,D 在同一条直线上,AB⊥ AD,ED ⊥AD,AB ＝ CD,BC ＝CE,试 说 明 BC⊥CE 的理由; " 　　斜边、直角边定理(HL)通常结合其他三角形 全等的判定方法综合应用,不要看到直角三角形就 被禁锢于 HL,要抓住两个直角三角形的隐含条 件———直角相等,如有一个锐角和一条边对应相等 的两个直角三角形全等,两条直角边对应相等的两 个直角三角形全等． 题型二　直角三角形全等的判定的实际应用 图１．３Ｇ４ 【例２】如图１．３Ｇ４,两根长度相等的绳 子,一端系在与地面垂直的旗杆的同 一点上,另一端分别固定在地面的两 根木桩上,两根木桩到旗杆底部的距 离相等吗? 请说明理由． 审题关键:题目问两根木桩到旗杆底 部的距离是否相等,实际上就是要说明BD 与CD 的长度是否相等,可 考 虑 △ABD 与 △ACD 是 否 全等． 破题思路:应用 HL可证得 Rt△ADB≌Rt△ADC,从 而证得BD＝CD． 解: