1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

１．２　直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 'F (１)勾 股 定 理 给 出 的 是 直 角三 角 形 三 边 之 间 的 关 系,它 是 解 决 直 角 三 角 形 问题的重要依据．它将图形 (直角三角形)与数量关系 (三 边 关 系)有 机 结 合 起 来,体现了数形结合思想． (２)在直角三角形中,已知 其中的任意两条边可以求 出第三边． 解题模板 拼图法验证勾股 定理的一般步骤 知识点一　直角三角形的性质定理———勾股定理　 勾股定理 文字语言 符号语言 直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c的平方 如果用a,b和c分别表示直 角三角形的两直角边和 斜 边,那么a２＋b２＝c２ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)勾股定理是揭示直角三角形的三边关系 的定理,只适用于直角三角形．如果不是直角三角 形,那么三边就不存在这种关系． (２)应用勾股定理时,要注意确定哪条边是直角三 角形的最长边,即斜边．在 Rt△ABC 中,斜边不一 定是c,当∠A＝９０°时,a２＝b２＋c２;当∠B＝９０° 时,b２＝a２＋c２． (３)由勾股定理的基本表达式a２＋b２＝c２ 可得到 一些变形表达式,如a２＝c２－b２＝(c＋b)(c－b), c＝ a２＋b２,a＝ c２－b２ 等． 勾股定理的证明 勾股定理的验证主要通过拼图法完成,这种方法是以 数形转换为指导思想、图形拼补为手段,以各部分面 积之间的关系为依据而达到目的． 下面是一种证明勾股定理的方法． 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾 股定理的一种新的证明方法．如图１．２Ｇ１,火柴盒的一 个侧面四边形 ABCD 倒下到四边形AB′C′D′的位 置,连接CC′,设AB＝a,BC＝b,AC＝c,下面利用四 边形BCC′D′的面积证明勾股定理:a２＋b２＝c２． ０１ 　 图１．２Ｇ１ 证明:因为四边形BCC′D′为直角梯形, 所以S梯形BCC′D′＝ １ ２ (BC＋C′D′)􀅰BD′＝ １ ２ (a＋b)２． 因为Rt△ABC≌Rt△AB′C′, 所以∠BAC＝∠B′AC′． 所以 ∠CAC′＝ ∠CAB′＋ ∠B′AC′＝ ∠CAB′＋ ∠BAC＝９０°． 所以S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′＝ １ ２ab＋ １ ２c ２＋ １ ２ab＝ab＋ １ ２c ２． 所以 １ ２ (a＋b)２＝ab＋ １ ２c ２．所以a２＋b２＝c２． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　拓展: 证明勾股定理的几种拼图方法 方法 图形 证明 赵爽 弦图 因为大正方形的边长为c,所以 大正方形的面积为c２．又因为大 正方形的面积＝４× １ ２ab＋ (a－ b)２＝a２＋b２,所以a２＋b２＝c２ 毕达 哥拉 斯拼 图 ① ② 图①和图②都是边长为a＋b 的 正方形．由左