1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

第１章　直角三角形 １．１　直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 　知识点一　直角三角形关于角的性质和判定 文字语言 符号语言 图１．１Ｇ１ 　 性质 →　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 如图１．１Ｇ１,因为∠C＝９０°, ∠A＋∠B＋∠C＝１８０°, 所以∠A＋∠B＝９０°, 即直角三角形的 两 个 锐 角 互余． 图１．１Ｇ２ 　 判定 →　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 如图１．１Ｇ２,因为∠A＋∠B＋ ∠C ＝１８０°,∠A ＋ ∠B ＝ ９０°, 所以∠C＝９０°, 即△ABC 是直角三角形． 【例１】如图１．１Ｇ３,在△ABC 中,AD⊥BC,∠１＝∠B． 求证:△ABC 是直角三角形． 图１．１Ｇ３ 证明:因为AD⊥BC,所以∠１＋∠C＝９０°． 因为∠１＝∠B,所以∠B＋∠C＝９０°, 所以△ABC 是直角三角形． % (１)直角三角形具有一般三 角形的一切性质,如三边关 系、内角和为１８０°等． (２)性质的结论是根据三角 形内角和定理得出的,性质 的条件是直角三角形,运用 此性质可解决求直角三角 形某个锐角度数的问题． (３)两个锐角互余是直角三 角形特有的性质,没有“在 直角三角形中”这一前提, 结论不成立．  满足下列条件的三角形也 是直角三角形: (１)在三角形中,两个内角 之和等于第三个内角; (２)在三角形中,两个内角 之差等于第三个内角． １ 'F (１)在直角三角形中,斜边 上的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半,而 直 角 边 上 的 中 线 不 具备这一性质． (２)运用时要注意“直角三 角形”这一前提条件,切不 可忽略前提条件而在非直 角三角形中生搬硬套． (３)在直角三角形中,有时 没 有 作 出 斜 边 上 的 中 线, 可以 通 过 作 辅 助 线,创 造 条件使用这一性质．  直角三角形斜边上中线性 质 的 逆 命 题 也 是 真 命 题, 即如果三角形一条边上的 中 线 等 于 这 条 边 的 一 半, 那么这个三角形是直角三 角形． 判定直角三角形的方法 (１)证明三角形的一个角等于９０°(或两条边互相垂直)． (２)证明三角形中有两个角互余． 知识点二　直角三角形斜边上的中线的性质 　 图１．１Ｇ４ 图１．１Ｇ５ 【例 ２】如 图 １．１Ｇ５,BE,CF 分 别 是 △ABC 的边AC,AB 上的高,M 为 BC 的 中 点,EF ＝５,BC ＝８,求 △EFM 的周长． 解:因为 BE,CF 分别是 △ABC 的边 AC,AB 的 高,M 为 BC 的 中 点, BC＝８, 所以在Rt△BCE 中,EM＝ １ ２BC＝４ , 在Rt△BCF 中,FM＝ １ ２BC＝４． 又因为EF＝５, 所以 △EFM 的 周 长 为EM ＋FM ＋EF ＝４＋４＋ ５＝１３． 求周长巧转换,其他线段亦有关 解答本题的关键是利用直角三角形斜边上中线 的性质,把所求三角形的两条边转化为直角三角形的 斜边上的中线,从而顺利求出三角形的周长． ２ 　知识点三　含３０°角的直角三角形 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋在直角三角形 中,如果一个锐 角等于 ３０°,那 么它所对的直 角边等于斜边 的一半． → 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋如图１．１Ｇ６,在 Rt△ABC 中,∠C＝ ９０°． 若∠A＝３０°,则BC＝ １ ２AB． 图１．１Ｇ６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在直角三角形 中,如果一条直 角边等于斜边 的一半,那么这