上海市杨浦区2023-2024学年九年级上学期期末数学（一模）试题

2023学年度第一学期初三期末质量调研 数学学科 2023.12 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．将抛物线向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D．． 2．如果将一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角的正切值（ ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 3．已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（ ） A． B． C． D． 4．如果两个非零向量与的方向相反，且，那么下列说法错误的是（ ） A．与是平行向量 B．的方向与的方向相同 C．若，则 D．若，则 5．如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是25米，那么教学大楼的高是（ ） A． B． C． D． 6．如图，锐角中，，现想在边上找一点，在边上找一点，使得与相等，以下是甲、乙两位同学的作法：（甲）分别过点作的垂线，垂足分别是，则即所求；（乙）取中点，作，交于点，取中点，作，交于点，则即所求．对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是（ ） A．甲正确乙错误 B．甲错误乙正确 C．甲、乙皆正确 D．甲、乙皆错误 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么________厘米． 8．计算：________． 9．二次函数的图像与轴的交点坐标是________． 10．已知抛物线的开口向上，那么的取值范围是________． 11．如果点和点是抛物线（是常数）上的两点，那么________．（填“>”、“=”或“<”） 12．在中，，垂足为点，如果，那么________． 13．小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了________米． 14．写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是________． 15．如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么________． 16．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽20米，拱桥的最高点到水面的距离是4米，如图建立直角坐标平面xOy，如果水面上升了1米，那么此时水面的宽度是________米．（结果保留根号） 17．如图，已知与相似，，联结，交边于点，那么线段的长是________． 18．如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点分别旋转至点，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 如图，已知在中，点分别在边上，． （1）求的长； （2）如果，求四边形的周长． 20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知二次函数． （1）用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）设该函数的图像与轴交于点，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求的正弦值． 22．（本题满分10分） 周末，小李计划从家步行到图书馆看书．如图，小李家在点处，现有两条路线：第一条是从家向正东方向前进200米到路口，再沿的南偏东方向到图书馆；第二条是从家向正南方向前进600米到路口，再沿的南偏东方向到图书馆．假设小李步行的速度大小保持不变，那么选择哪条路线更快到达图书馆？请通过计算说明．（参考数据：） 23．（本题满分12分，每小题各6分） 已知：如图，在等腰梯形中，，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）如果点是边的中点，求证：． 24．（本题满分12分，每小题各4分） 已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上一点，如果，求点的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，将该拖物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 25．（