17.5 实践与探索-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

１７．５　实践与探索 知识点一　一次函数与一元一次方程　 一次函数与一元一次方程的关系的实质 因为任何一个以x 为未知数的一元一次方程都可以 变形为ax＋b＝０(a≠０)的形式,所以解一元一次方 程相当于求某个一次函数y＝ax＋b(a≠０)的函数 值为０时,自变量x 的值． 从“数”和“形”两个角度理解一次函数与一元一次方 程的关系 注:⇔表示“等价于”． 图１７．５Ｇ１ 【例１】利用函数图象解方程:３x－ ２＝x＋４． 解:由３x－２＝x＋４,得２x－６＝０． 令y＝２x－６,画出函数y＝２x－ ６的图象,如图１７．５Ｇ１所示． 由图１７．５Ｇ１,知直线y＝２x－６与 x 轴的交点是(３,０), 所以原方程的解是x＝３． 用图象法解一元一次方程 　 (１)有些时候,用图象法解 方程并不简单也不准确,但 从函数的角度看问题,能从 一次函数与一元一次方程 之间的联系中直观地看到 怎样用图象法求方程的解． (２)对于一次函数y＝kx＋ b(k≠０),在已知x 值求y 值或已知y 值求x 值时,都 是把问题转化成关于y 或 关于x 的一元一次方程来 求解的．  方程ax＋b＝k(a≠０)的解⇔ 在函数y＝ax＋b(a≠０)中, 当y＝k 时x 的值; 方程ax＋b＝k(a≠０)的 解⇔函数y＝ax＋b(a≠０) 的图象与直线y＝k 的交点 的横坐标． １２１ 二元一次方程y＝kx＋b(k≠ ０)的所有解与一次函数y＝ kx＋b(k≠０)图象上点的 坐标是一一对应的． 知识点二　一次函数与二元一次方程(组) 一次函数与二元一次方程的关系的实质 一般地,因为每个含有未知数x 和y 的二元一次方 程,都可以改写为y＝kx＋b(k、b是常数,k≠０)的形 式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是 也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x,y)都 是这个二元一次方程的解． 从“数”和“形”两个角度理解一次函数与二元一次方 程组的关系 【例２】请用图象法求方程组 x＋y＝－１, ２x－y＋２＝０{ 的解． 图１７．５Ｇ２ 解:整理方程组,得y＝－x－１ , y＝２x＋２．{ 建立平面直角坐标系,分别作出一 次函数y＝－x－１与y＝２x＋ ２的图象,如图１７．５Ｇ２所示． 两直线交于点A(－１,０),则原 方程组的解为 x＝－１, y＝０．{ 用图象法解二元一次方程组的步骤 第１步:转化,将方程组中的每个方程分别转化成一 次函数表达式的形式; 第２步:画图象,在同一平面直角坐标系中分别画出 这两个一次函数的图象; 第３步:找交点,分别写出这两个图象的交点的横、纵坐 标,这两个值就是二元一次方程组的解中的两个数值．若 没有交点,则方程组无解． ２２１ 知识点三　一次函数与一元一次不等式 一次函数与一元一次不等式关系的实质 因为任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可 以变形为ax＋b＞０(a≠０)或ax＋b＜０(a≠０)的形 式,所以解一元一次不等式相当于求某个一次函数 y＝ax＋b(a≠０)的值大于０或小于０时,自变量x 的取值范围． 从“数”和“形”两个角度理解一次函数与一元一次不 等式的关系 【例３】如图１７．５Ｇ３,一次函数y＝kx＋b(k、b为常数,且 k≠０)与正比例函数y＝ax(a为常数,且a≠０)的图象相 交于点P,则不等式kx＋b＞ax的解集是 (　　) 图１７．５Ｇ３ A．x＞１　　　　　　　　B．x＜１ C．x＞２ D．x＜２ 解析:由图象可知,点P 的坐标是(２,１),当x＜２时,一 次函数y＝kx＋b的图象在y＝ax 的图象的上方,即 kx＋b＞ax．故选 D． 答案:D 　　利用函数图象上的对应点求不等式的解集,一般 不求函数的表达式,而应根据两图象交点坐标分析交 点两边的图象,进而确定x 的取值范围． 　  (１)一次函数y＝kx＋b(k≠ ０)的 图 象 是 直 线．当kx＋ b＞０时,x 值 为 直 线 在x 轴上 方 的 点 的 横 坐 标;当 kx＋b＝０时,x 值为直线 与x 轴的交点的横坐标;当 kx＋b＜０时,x 值为直线 在x 轴下方的点的横坐标． (２)对于ax＋b＞cx＋d 或 ax＋b＜cx＋d(a≠０,c≠ ０)形式的不等式,可将它们 的解集看成在同一直角坐 标系 内,直 线y１ ＝ax＋b 在上方或直线y２＝cx＋d 在上方的部分的点的横坐 标． ３２１ 建立函数模型可以把实际 问题转化为关于一次函数 或反比例函数的数学问题, 其关键是确定函数表达式, 并确定自变量的取值范围, 即实际问题的答案应结合 实际对得出的答案进行分 析、讨论． 图１７．５Ｇ４ 　知识点四　实际问题中的近似函数关系 　建立近似函数关系的一般步骤 (１)将实验得到的数据作为点的坐标在平面直角坐标