专题04 异面直线所成的角（期末选择题4）-2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题04 异面直线所成的角（期末选择题4）（原卷版） 题型 空间向量数量积的应用 技巧： 工具1： 异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． 工具2：常规方法： 第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形 第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长 第三步：利用余弦定理求出待求角 第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求 秒杀： 四面体的任何一组对棱都是异面直线，因此以四面体为载体，把异面直线放在四面体对棱所在的位置，利用四面体对棱夹角公式处理异面直线角度问题 结论：在四面体中，若与所成的角为 四面体对棱夹角公式： 证明如下： 因为 所以 形如1、如图.在正方体中，若为的中点，则直线与所成的角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 解：正规方法 第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形 第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长 在中，，，， 第三步：利用余弦定理求出待求角 由余弦定理，. 秒杀：四面体对棱夹角公式： 设正方体的边长为2，则 形如2、在长方体中，与平面所成角的大小为，与平面所成角的大小为，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 解：正规方法 第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形 第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长 由题得∠设AD=1,则 第三步：利用余弦定理求出待求角 由余弦定理得 秒杀：四面体对棱夹角公式： 设，求得 则 形如3：如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝， BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． 求AC与PB所成角的余弦值． 破解：因为侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD， 所以,，又底面ABCD为矩形. 以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则知点，，，,,, 从而，. 设与的夹角为，则 . 所以AC与PB所成角的余弦值为. 形如4．如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 破解：取的中点，的中点，连接、， 因为是正三角形，所以，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，所以与所成角的余弦值为.   故选：A 1．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角大小为（    ） A． B． C． D． 4．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值为（     ）    A． B． C． D． 5．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（    ） A．与所成的角是 B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是 C．与平面所成的角的正弦值是 D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为 8．已知长方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．在正方体中，为的中点，在棱上，下列判断不正确的是（    ） A．若平面，则为的中点 B．平面平面 C．若，则 D．异面直线与所成角的余弦值 10．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是（    ） ①存在点，使得    ②不存在点，使得平面 ③三棱锥的体积是定值    ④不存在点，使得与所成角为 A． B． C． D． 11．如图，在正四棱锥中，，E，F分别是PB，PD的中点，则异面直线AE，CF所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 12．已知圆锥的顶点是，底面圆心是，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，下面说法正确的是（    ） A．与平面所成角的正弦值为 B．到平面的距离为 C．与所成角的余弦值为 D．平面与平面所成角的正弦值为 13．如图，在正方体中，点是线段的中