第19章 四边形 章末整合提升-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①C　②A　③F　④B　⑤D　⑥E　⑦E　⑧B　 ⑨I　􀃊􀁉􀁒B　 􀃊􀁉􀁓H　􀃊􀁉􀁔B　􀃊􀁉􀁕G ８７１ 考点一　多边形的内角和与外角和 多边形的内角和是(n－２)􀅰１８０°, 多边形的外角和是３６０°,利用上述结论 不仅可以求其内角和外角,还可以求多 边形的边数．解题的关键是记住多边形内 角和的公式与外角和为定值,有的题目 还需要注意题目中的隐含条件． 例１一个多边形的内角和比外角和的３ 倍多１８０°,则它的边数是　　　　． 解析:设边数为n,根据题意,得 (n－２)􀅰１８０°＝３×３６０°＋１８０°, 解得n＝９． 所以这个多边形的边数是９． 答案:９ 4 构造方程求多边形的边数 　　已知多边形的内角和与外角和之 间的关系,求多边形的边数问题,通常 根据多边形的内角和定理与外角和定 理建立方程求解． 考点二　平行四边形的性质与判定 平行四边形的性质包括边的位置关 系和数量关系、角的数量关系、对角线的 数量关系等,这些结论是进行线段和角 度计算与证明的重要依据．而平行四边形 的判定多与性质互为逆定理,且判定方 法较多,在应用时一定要根据已知的“暗 示”灵活选择,并注意不要与性质混淆． 图１９Ｇ１ 例２(湖南益阳中考)如 图 １９Ｇ１,在 ▱ABCD 中,AE ⊥BD 于 点 E,CF⊥BD 于点F,连接AF,CE． 求证:AF＝CE． 分析:根 据 平 行 四 边 形 的 性 质,易 证 △AED≌△CFB,则可得 AE＝CF, 且AE∥CF,所以四边形AECF 为平 行四边形,所以AF＝CE． 证明:因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AD＝BC,∠ADB＝∠CBD． 又因为AE⊥BD,CF⊥BD, 所以∠AED＝∠CFB, 所以AE∥CF, 所以△AED≌△CFB, 所以AE＝CF, 所以四边形AECF 是平行四边形, 所以AF＝CE． 　　由平行四边形的性质可得很多 边、角的等量关系,可为证明全等三角 形提供条件．因此,将平行四边形性质 的证明题与全等三角形进行综合考 查,成为这类问题的特点．另外,本题 也可 通 过 证 明 △AEF≌ △CFE,得 AF＝CE． 考点三　矩形的判定与性质 矩形是一种特殊的平行四边形,因 此,在证明一个四边形是矩形时,除去可 以用三个内角是直角证明外,也可以先 判定这个四边形是平行四边形,再证其 特殊性———有一个内角是直角或对角线 相等． 矩形最明显的性质就是有四个直角 以及对角线互相平分且相等．因此,解决 ９７１ 与矩形有关的问题时,常用勾股定理及 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等来解决． 图１９Ｇ２ 例３如图１９Ｇ２,四边形 ABCD 中,对角线AC, BD 相交于点O,AO＝ CO ,BO ＝DO ,且 ∠ABC＋∠ADC＝１８０°． (１)求证:四边形ABCD 是矩形; (２)DF⊥AC,若∠ADF∶∠FDC＝ ３∶２,则∠BDF 的度数是多少? 分析:(１)根据平行四边形的判定得出四 边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,再 求 出 ∠ABC＝９０°,根据矩形的判定得出结 论即可． (２)求出∠FDC 的度数,根据三角形 内角和定理求出∠OCD,根据矩形的 性质得出OD＝OC,求出∠ODC,即可 求出答案． (１)证明:因为AO＝CO,BO＝DO, 所以四边形ABCD 是平行四边形, 所以∠ABC＝∠ADC． 因为∠ABC＋∠ADC＝１８０°, 所以∠ABC＝∠ADC＝９０°, 所以四边形ABCD 是矩形． (２)解:因 为 ∠ADC ＝９０°,∠ADF ∶ ∠FDC＝３∶２, 所以∠FDC＝３６°． 因为 DF⊥AC,所以∠OCD ＝９０°－ ３６°＝５４°． 因 为 四 边 形 ABCD 是 矩 形,所 以 CO＝OD, 所以∠ODC＝∠OCD＝５４°, 所以∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝１８°． @. 　　矩形的性质有很多,要根据所求 结论灵活选用,涉及线段长时往往考 虑对边相等,对角线相等且互相平分; 涉及角度时,往往考虑矩形的四个角 都是直角． 考点四　菱形的判定与性质 菱形是一种特殊的平行四边形,因 此,在证明一个四边形是菱形时,除去用 四边相等以外,要紧紧抓住平行四边形 这一先决条件,再证其特殊性———邻边 相等或对角线互相垂直． 菱形最主要的性质是四边相等及对 角线互相垂直平分,因此,考查菱形时, 经常结合等腰三角形、直角三角形等特 殊三角形的性质进行命题． 图１９Ｇ３ 例４如图１９Ｇ３,△ABC 与 △CDE 都 是 等 边 三角形,E,F 分别为 AC,BC 的中点． (１)求 证:四 边 形 EFCD 是菱形;