第18章 勾股定理 章末整合提升-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①C　②B　③A　④C　⑤B　⑥F　⑦E　⑧D 考点一　勾股定理的有关计算 勾股定理的有关计算可单独命题, 也可与其他知识点综合命题．勾股定理反 映的是 直 角 三 角 形 三 边 之 间 的 数 量 关 系,因此,应用的前提条件是必须在直角 三角形中． 有关直角三角形边长、周长、面积的 计算都会涉及勾股定理的应用,在应用 勾股定理时,要分清直角边和斜边． 例１在Rt△ABC 中,∠C＝９０°． (１)若AB＝１５,BC＝１２,求AC 的长; (２)若∠A＝３０°,BC＝１,求AB 和AC 的长; (３)若 AC＝１０,AB 比BC 长 ２,求 BC,AB 的长． 分析:(１)已知两边,可直接应用勾股定 理求解． (２)利用特殊直角三角形的性质先求 AB,再用勾股定理求AC． (３)设BC 为x,应用勾股定理列方程 求解． 解:(１)因为在△ABC 中,∠C＝９０°, 所以AC＝ AB２－BC２＝ １５２－１２２＝９． (２)因 为 ∠A ＝３０°,所 以 AB ＝ ２BC＝２, ４０１ 所以AC＝ AB２－BC２＝ ２２－１＝ ３． (３)设BC＝x,则AB＝x＋２． 由勾股定理,得１０２＋x２＝(x＋２)２,解 得x＝２４, 所以x＋２＝２６,即BC＝２４,AB＝２６． 4 命题形式“千变万化”,套用三种 模式找条件 (１)已知两边求第三边． (２)已 知 一 边 和 一 个 特 殊 角,求 另 两边． (３)已知一边和另两边的关系,求另 两边． 考点二　勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理是直角三角形的 判定定理,是用边的数量关系证明一个 三角形是直角三角形、两条线段垂直的 常用方法． 当已知三角形的三条边时,常用勾 股定理的逆定理判断三角形的形状,进 而解决问题． 例２如图１８Ｇ１,点P 是正方形ABCD 内 的一点,把△ABP 绕点B 顺时针旋 转,使点A 与点C 重合,点P 与点Q 重合．若PA＝３,BP＝２ ２,PC＝５,求 ∠BQC 的度数． 图１８Ｇ１ 分析:连接PQ,由旋转可求得∠BQP 的 度数及PQ 的长,由勾股定理的逆定理 可判定△QCP 是直角三角形,从而得 到∠BQC 的度数． 解:如图１８Ｇ２,连接PQ． 图１８Ｇ２ 由题意,得BP＝BQ,∠PBQ＝∠ABC＝ ９０°,PA＝CQ, 所以∠BPQ＝∠BQP＝４５°． 又因为BP＝２２, 所以PQ＝ BP２＋BQ２ ＝ (２２)２＋(２２)２ ＝４． 所以CQ２＋PQ２＝３２＋４２＝２５＝CP２, 所以△QCP 是直角三角形,且∠PQC＝ ９０°． 所以∠BQC＝∠BQP＋∠PQC＝１３５°．  　　利用勾股定理的逆定理可以判断 出三角形是直角三角形,进而根据三 角形的内角和定理和已知的角度求未 知的角度．在判断直角三角形中,容易 出现没有先辨别最大边而导致错误． 考点三　勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理将形转化为数,勾股定理 的逆定理将数转化为形,适当地运用勾 股定理及其逆定理,可使要研究的问题 化难为易． 例３如图１８Ｇ３,△ABC 的三边长分别为 ５０１ AC＝５,BC＝１２,AB＝１３,将△ABC 沿AD 折叠,使AC 落在AB 上,且点 C 落在点E 上． (１)试 判 断 △ABC 的 形 状,并 说 明 理由; (２)求折痕AD 长的平方． 图１８Ｇ３ 分析:(１)要判断△ABC 的形状,只要判 断AC２＋BC２＝AB２ 是否成立即可． (２)设未知数,根据勾股定理建立方程 求解． 解:(１)△ABC 是直角三角形．理由如下: 因为AC２＋BC２＝５２＋１２２＝１６９, AB２＝１６９, 所以AC２＋BC２＝AB２, 所以△ABC 是直角三角形． (２)设 CD ＝x,则 DE ＝x,BD ＝ １２－x． 因为 AE ＝AC ＝５,AB ＝１３,所 以 BE＝８． 因为∠AED＝∠C＝９０°, 所以在 Rt△EBD 中,x２＋８２＝(１２－ x)２, 解得x＝ １０ ３ , 所以AD２＝５２＋ ( １０ ３ ) ２ ＝ ３２５ ９ ． 4 　　综合应用勾股定理及其逆定理解 决问题的一般步骤:先应用勾股定理 的逆定理判定已知图形(或适当添加 辅助线后的图形)中的某个三角形为 直角三角形,再应用勾股定理求其他 未知边的长度． ６０１ AB２＝１３２＝１６９, 所以BD２＋AD２＝AB２, 所以△ABD 是直角三角形,且∠ADB＝９０°． 所以△ADC 也是直角三角形． 在 Rt△ADC 中,因为 AD＝１２cm,DC＝ ５cm,所以AC＝ AD２＋DC２ ＝ １２２＋５２ ＝ １３(cm)． 所以AB＝AC． ５．证明:在