19.4 综合与实践 多边形的镶嵌-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

１９．４　综合与实践　多边形的镶嵌 (１)用一种正多边形能作平 面镶嵌时,３６０°恰好是这个 正多边形一个内角的度数 的整数倍． (２)用多种正多边形作平面 镶嵌时,各个正多边形的内 角度数不一定是正整数,但 正多边形的个数一定是正 整数． 平面镶嵌欣赏 知识点　平面镶嵌 平面镶嵌需满足的三个条件 (１)形状相同或不同的平面封闭图形; (２)覆盖平面区域; (３)图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖． 常见的平面镶嵌的类型 一种正 多边形 正三角形、正方形和正六边形都可以用来作平面镶 嵌,正五边形不能用来作平面镶嵌 多种正 多边形 多种正多边形作平面镶嵌的条件:在一个顶点处的 几个内角恰好拼成一个周角(即３６０°) 一般的 多边形 一般的三角形、四边形也可以用来作平面镶嵌,有 一些特殊的多边形也能作平面镶嵌． 一般三角形 　　 一般四边形 　　 三内角相等的五边形 【例】若用m 个正三角形和n 个正六边形能作平面镶嵌 (两种正多边形需都使用),则m,n 的值为 (　　) A．m＝２,n＝２　　　　　　　　 B．m＝４,n＝１ C．m＝２,n＝２或m＝４,n＝１ D．m＝２,n＝２或m＝１,n＝４ 解析:由于正三角形的每一个内角都等于６０°,正六边形 的每一个 内 角 都 等 于 １２０°,根 据 平 面 镶 嵌 知 ６０m＋ １２０n＝３６０．由 m,n 是正整数,分两种情况:①n＝１ 时,即６０m＋１２０＝３６０,解 得 m＝４;② n＝２ 时,即 ６０m＋２４０＝３６０,解得m＝２．故选C． 答案:C ４７１ 利用方程的特殊解解决平面镶嵌问题 　　由于用多种正多边形作平面镶嵌的本质就是 在一个顶点处所有正多边形的内角和等于３６０°,据 此可建立二元一次方程,并根据方程的特殊解解决 问题． 　 题型一　用几种正多边形进行镶嵌的问题 【例１】如果用三种正多边形铺地面,一个顶点处已有一 个正三角形和一个正六边形,那么再加两个　　　　 形能铺满地面．(要求是正多边形,且三种正多边形的 边长相等) 审题关键:用多种正多边形进行平面镶嵌的问题,与 正多边形的边、角有关,因此,计算出每个正多边形 内角的度数是解题的关键． 解析:正三角形的一个内角为６０°,正六边形的一个内 角为１２０°,要想铺满地面即实现平面镶嵌,则需在 一个顶点处围成一个周角．设所需正多边形的每个 内角为α,则有６０°＋１２０°＋２α＝３６０°,所以２α＝ １８０°,所以α＝９０°,所以这两个正多边形是正方形． 答案:正方 题型二　与平面镶嵌有关的探究题 【例２】有规律的一组图案如图１９．４Ｇ１所示,它们是由边 长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第１个图案有 ４个三角形,第２个图案有７个三角形,第３个图案有 １０ 个 三 角 形,􀆺􀆺,依 此 规 律,第 n 个 图 案 有 　　　　个三角形(用含n 的代数式表示)． 　􀆺􀆺 ①　　 　②　　　　 ③　　 　　　④ 图１９．４Ｇ１ 　 １．如果用三种不同的正多 边形镶嵌,并且每一顶点 处一种正多边形只有一 个,那么三种多边形的边 数应满足什么条件? ２．如图１９．４Ｇ２是用形状、大 小完全相同的等腰梯形 镶嵌而成的一个平行四 边形,组成这个图案的等 腰梯形的内角各是多少 度? ５７１ 图１９．４Ｇ２ 审题关键:结合镶嵌的知识,找到图案中三角形的个数 排列的规律． 解析:图１９．４Ｇ１①中有１个正方形,有４个三角形,三 角形的个数可以看成是３×１＋１; 图１９．４Ｇ１②中有２个正方形,有７个三角形,三角形 的个数可以看成是３×２＋１; 图１９．４Ｇ１③中有３个正方形,有１０个三角形,三角 形的个数可以看成是３×３＋１; 图１９．４Ｇ１④中有４个正方形,有１３个三角形,三角 形的个数可以看成是３×４＋１; 􀆺􀆺 依此规律,第n 个图案有３n＋１个三角形． 答案:３n＋１ >4 找寻规律,解答与镶嵌有关问题 　　解决以镶嵌为背景的规律探究题,应结合镶嵌 的知识,找到已知的各个图案中三角形的个数的规 律,并用含n 的代数式把这个规律表示出来,从而 得出一般性的结论． 易错点　因思维定式而出错 【例】下列能够铺满地面的正多边形组合是 (　　) A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形 C．正方形和正五边形 D．正五边形和正十边形 解析:A 项,正 三 角 形 的 每 个 内 角 是 ６０°,正五边形的每 个 内 角 是 １０８°, m􀅰６０°＋n􀅰１０８°＝３６０°,显然n 取 任何正整数时,m 都不能得正整数, 故不能铺满;B项,正方形的每个内 角是 ９０°,正 六 边 形 的 每 个 内 角 为 １２０°,m􀅰９０°＋n􀅰１２０°＝３６０°,显然 n 取任何正整数时,m 都不能得正 整数,故不能