19.1 多边形内角和-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

第１９章　四边形 １９．１　多边形内角和 知识点一　多边形的相关概念及其表示方法 多边形的相关概念 名称 内容 多边形 在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段 首尾顺次相接组成的封闭图形 边 组成多边形的线段 顶点 相邻两边的公共端点 内角 多边形中相邻两边组成的角 外角 在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角 对角线 多边形中连接不相邻两个顶点的线段 凸多边形 一个多边形,如果把它任何一边双向延长,其他 各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边 形就是凸多边形 多边形及其表示方法 多边形一般按边数命名,并用它各个顶点的字母顺次 排列来表示．如图１９．１Ｇ１,分别是四边形ABCD、五边 形ABCDE、六边形ABCDEF． 图１９．１Ｇ１ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　注意:(１)多边形有几条边就是几边形．(２)多边形用 顶点的字母表示时,可顺时针方向表示,也可以逆 时针方向表示． 　 (１)“在平面内”是多边形形 成的重要限制条件,三角形 是边数最少的多边形． (２)多边形的边、顶点、内角、 外 角、对 角 线 如 图 １９．１Ｇ２ 所示． 图１９．１Ｇ２ (３)若无特别说明,我们所 说的多边形都是指凸多边 形．图１９．１Ｇ３①所示的是凸 多边形,图１９．１Ｇ３②所示的 不是凸多边形． ①　　　　② 图１９．１Ｇ３ ７０１  从n 边形的每一个顶点出 发,都可以画(n－３)条 对 角线．n 个顶点就有n(n－ ３)条对角线,而每条对角线 被重复计算了两次,所以n 边形 一 共 可 以 画 n(n－３) ２ 条对角线． (１)一个多边形的内角和取 决于它的边数,边数增加, 多边形的内角和也随之增 加,且每增加一条边,内角 和增加１８０°． (２)利 用 多 边 形 内 角 和 定 理,已 知 边 数 可 以 求 内 角 和;反之,已知内角和也可 以求边数． 【例１】填空: 六边形有　　　　个顶点,　　　　个内角,　　　　 个外角,从一个顶点出发可画　　　　条对角线． 解析:六边形有６个顶点,６个内角,１２个外角,从一个顶 点出发可画３条对角线． 答案:６　６　１２　３ 多边形中几个“威力无穷”的数量关系 (１)顶点、边、内角和外角:一个n 边形有n 个顶点,n 条边,n 个内角,２n 个外角． (２)对角线条数:从n 边形的一个顶点出发,能画出 (n－３)条对角线,n边形一共能画出 n(n－３) ２ 条对角线． 知识点二　多边形的内角和 定理:n 边形的内角和等于(n－２)􀅰１８０°(n 为不小于３ 的整数)． 多边形内角和定理的推导 多边形 　分割　 → 若干个三角形 　具体方法如下: 图形(以六 边形为例) 分割方法 分割成 三角形 个数 所有 三 角形 内 角和 n 边形的 内角和 在多边形内任取一 点P,将点 P 与多 边形的各顶点相连 n n􀅰１８０° n 􀅰１８０°－ ３６０°＝(n－ ２)􀅰１８０° 点P 恰为多边形的 某一个顶点,过点P 连接与它不相邻的 各顶点 n－２ (n－２)􀅰 １８０° (n－２)􀅰１８０° 在多边形的边上任取 一点P(不为多边形 的顶点),将点P 与 多边形的各顶点相连 n－１ (n－１)􀅰 １８０° (n －１)􀅰 １８０°－１８０°＝ (n－２)􀅰１８０° ８０１ 【例２】(１)求十边形的内角和; (２)若一个多边形的内角和为１８００°,求这个多边形 的边数． 解:(１)由多边形内角和定理,得(１０－２)×１８０°＝１４４０°, 所以十边形的内角和为１４４０°． (２)设多边形的边数为n．根据题意,得(n－２)×１８０°＝ １８００°, 解得n＝１２,即这个多边形是十二边形． 知识点三　 多边形的外角和 定理:n 边形的外角和等于３６０°(n 为不小于３的整 数)． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈