第一章 三角形的证明 考前复习笔记-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

数学　八年级　下册 ４６　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 第一章　三角形的证明 ４７　 方法专题:等腰三角形中常用的作辅助线的方法 几何图形中添加辅助线,往往能把 分散的条件集中,使隐蔽的条件显露,将 复杂的问题简单化．例如:等腰三角形中 作“三线”中的“一线”,作平行线构造等 腰(边)三角形,利用截长补短法证线段 和、差关系或求角的度数,利用倍长中线 法证线段的倍分关系等． １．作“三线”中的“一线” 等腰三角形中常添加的一条重要辅助 线是作底边上的高(或顶角平分线、底 边上的中线),从而利用等腰三角形的 “三线合一”的性质得到相等的边、角来 解决问题． 【例１】如图,在△ABC 中,AB＝AC,D 为AB 上一点,过点D 作DF⊥AB,交 AC 于点E,交BC 的延长线于点F． 求证:∠F＝ １ ２∠BAC． 思路分析 知条件　在△ABC 中,AB＝AC,DF⊥ AB． 明方法　由 １ ２∠BAC 联 想 到 ∠BAC 的平 分 线,因 此 过 点 A 作 AG⊥BC 于点G,利用等腰 三角形“三线合一”的性质进 行证明． 证明 如图,过点A 作AG⊥BC 于点G, 所以∠AGB＝９０°． 所以∠B＋∠BAG＝９０°． 因为DF⊥AB,所以∠BDF＝９０°． 所以∠B＋∠F＝９０°． 所以∠F＝∠BAG． 因为AB＝AC,AG⊥BC, 所以∠BAG＝ １ ２∠BAC． 所以∠F＝ １ ２∠BAC． ２．作平行线构造等腰(边)三角形 过等腰三角形一边上的一点作另一边 的平行线,截得的三角形仍然是等腰三 角形．在实际解题中,可以作腰的平行 线,也可以作底的平行线． 【例２】如图,在△ABC 中,AB＝AC,D 是AB 上一点,E 是AC 延长线上一 点,且BD＝CE,DE 交BC 于点F．你 认为DF 与EF 之间有什么数量关系? 你能证明吗? 数学　八年级　下册 ４８　 思路分析 知条件　在△ABC 中,AB＝AC,BD＝ CE． 明方法　过点 D 作DN∥CE,交BC 于 点 N,构 造 等 腰 三 角 形 BDN 和 △DNF,借 助 等 腰 三角形和全等三角形的性质 来解决问题． 解DF＝EF．证明如下: 如图,过点 D 作DN ∥CE,交BC 于 点N, 所以∠DNC＝∠FCE,∠DNB＝∠ACB． 因为AB＝AC, 所以∠B＝∠ACB(等边对等角), 所以∠B＝∠DNB, 所以DB＝DN(等角对等边)． 因为BD＝CE,所以DN＝CE． 又因为∠１＝∠２, 所以△DNF≌△ECF(AAS), 所以DF＝EF． ３．截长补短法 截长补短法常用在有线段和差关系的 题目中．“截长”一般是把长线段截成两 段,使其中一段等于一条短线段,再证 明剩下的线段与另一条短线段相等; “补短”是把一条短线段延长,使延长部 分与另一条短线段相等,再证明延长后 的线段等于长线段的长． 【例３】如图,在△ABC 中,AB＝AC,D 是△ABC 外 一 点,且 ∠ABD ＝６０°, ∠ACD＝６０°．求证:BD＋DC＝AB． 思路分析 知条件　AB ＝ AC,∠ABD ＝６０°, ∠ACD＝６０°． 明方法　延长 BD 到点E,使 BE＝ AB,构造等边三角形,借助 等边三角形和等腰三角形的 判定与性质进行推理． 证明 如图,延长 BD 至点E,使 BE＝ AB,连接CE,AE． 因为∠ABE＝６０°,BE＝AB, 所以△ABE 为等边三角形． 所以∠AEB＝６０°,AE＝AB． 又因为∠ACD＝６０°, 所以∠ACD＝∠AEB． 因为AB＝AC,AB＝AE, 所以AC＝AE． 第一章　三角形的证明 ４９　 所以∠ACE＝∠AEC． 所以∠DCE＝∠DEC． 所以DC＝DE． 所以 AB＝BE＝BD ＋DE＝BD ＋ DC, 即BD＋DC＝AB． ４．倍长中线法 题目中如果出现了三角形的中线,常加 倍延长此线段,再将端点连接,便可得 到全等三角形． 【例４】如图,已知在△ABC 中,AD 是 ∠BAC 的平分线,AD 又是BC 边上 的中线．求证:△ABC 是等腰三角形． 思路分析 知 条件 　AD 是 ∠BAC 的 平 分 线, AD 又是BC 边上的中线． 明方法　加倍延长 AD 到点E,利用 全等三角形的判定与性质得 出相应条件解决问题． 证明 如图,延长 AD 到点E,使 DE＝ AD,连接BE． 因为AD 是BC 边上的中线, 所以BD＝DC． 又因为∠BDE＝∠CDA, 所以△BED≌△CAD． 所以EB＝AC,∠E＝∠２． 又因为AD 是∠BAC 的平分线, 所以∠１＝∠２, 所以∠１＝∠E, 所以BE＝AB, 所以 AC＝AB,即 △ABC 是等腰三 角形． 专题一　转化思想 　　在本章中求三角形