第五章 分式与分式方程 考前复习笔记-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

第五章　分式与分式方程 １８３　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　八年级　下册 １８４　 方法专题:分式方程的特殊解法 分式方程的常规解法是方程两边同 乘最简公分母,转化为整式方程求解．但 是对于某些分式方程,用常规解法比较 烦琐甚至无法求解,此时需要根据分式 方程的特点,运用数学方法加以探索创 新,找到最简便的方法,灵活求解． 常用的特殊解法有倒数法、分子对 等法、分组通分法(局部通分法)、换元 法、巧添常数法、拆项法、裂项法． １．倒数法、分子对等法求解形如 m ax＋b＝ n cx＋d 的分式方程 形如 m ax＋b＝ n cx＋d 的分式方程求解不 算困难,但若等号两边的分母差别较 大,运算量也会较大,此时可以考虑简 便方法: (１)倒数法:对方程两边均取倒数,使之 转化为整式方程求解; (２)分子对等法:利用分式的基本性质 对 分 式 的 两 边 分 别 变 形,化 成 mn n(ax＋b)＝ mn m(cx＋d) 的形式,根据分 母相等得方程求解． 以上两种方法均需要进行验根． 【例１】解方程: ５ ２x－１＝ ３ x＋２． 思路分析 知条件　形如 m ax＋b＝ n cx＋d 的分式 方程． 明方法　除常规解法外,还可以利用 倒数法、分子对等法求解． 解 方法１(倒数法):方程两边分别取倒 数,得２x－１ ５ ＝ x＋２ ３ , 通分,得３ (２x－１) １５ ＝ ５(x＋２) １５ , 即３(２x－１)＝５(x＋２), 解得x＝１３, 经检验,x＝１３是原分式方程的根． 方法２(分子对等法):将分子化成相 等的,得 １５ ３(２x－１)＝ １５ ５(x＋２) , 由分母相等,得３(２x－１)＝５(x＋２), 解得x＝１３, 经检验,x＝１３是原分式方程的根． ２．分组通分法(局部通分法) 当分式方程中含有较多个分式,且各分 式的结构有某些特殊规律时,可以采用 分组通分法,也叫局部通分法． 【例２】解方程: １ x－４－ ２ x－３＝ ３ x－２－ ４ x－１． 思路分析 知条件　 分 式 方 程 等 号 两 边 各 有 两 项,两边若分别通分,等号两 边式子的分子相等． 第五章　分式与分式方程 １８５　 明方法　用分组通分法求解． 解 方 程 整 理,得 －x＋５(x－３)(x－４)＝ －x＋５ (x－２)(x－１) , 当－x＋５＝０,即x＝５时,原方程成立; 当－x＋５≠０时,化简,得x２－７x＋１２＝ x２－３x＋２, 解得x＝２．５． 经检验,x＝５和x＝２．５都是原分式方 程的根． ３．换元法 当方程中的分式互为倒数,或不同分式 中的分母互为相反式,或方程中分子、 分母的二次项与一次项分别相同时,可 考虑用换元法． 【例３】解方程: ３x２＋８x＋３ x２＋４x＋１１＝ ３x２＋８x＋９ x２＋４x＋１３． 思路分析 知条件　所给方程中的分子、分母的 二次项和一次项分别相同． 明方法　用换元法解分式方程． 解 设３x２＋８x＋３＝y,x２＋４x＋１１＝z, 则原方程变形为 y z＝ y＋６ z＋２ , 即yz＋２y＝yz＋６z,所以y＝３z, 所以３x２＋８x＋３＝３(x２＋４x＋１１), 解得x＝－ １５ ２． 经检验,x＝－ １５ ２ 是原分式方程的根． ４．巧添常数法 当方程中的每个分式的分子和分母都 是相同两数的差或和时,可在每个分式 中添加常数“１”,使解法简单明了． 【例４】解方程: x－１ x＋１＋ x－４ x＋４＝ x－２ x＋２＋ x－３ x＋３． 思路分析 知条件　所给方程中的每个分式的分 子和分母都是相同两数的差 或和． 明方法　在每个分式中添加常数“１” 求解． 解 原分式方程可变形为 ( x－１ x＋１＋１) ＋ ( x－４ x＋４＋１) ＝ ( x－２ x＋２＋１) ＋ ( x－３ x＋３＋１) , 所以 ２x x＋１＋ ２x x＋４＝ ２x x＋２＋ ２x x＋３． 当２x＝０时,x＝０． 当２x≠０ 时, １ x＋１＋ １ x＋４＝ １ x＋２＋ １ x＋３ , 方 程 两 边 分 别 通 分 并 整 理,得 ２x＋５ x２＋５x＋４＝ ２x＋５ x２＋５x＋６ , 易知当２x＋５＝０时,该分式方程有根, 解得x＝－ ５ ２． 经检验,x＝０和x＝－ ５ ２ 都是原分式 方程的根． ５．拆项法 当每个分式的分母与分子相差同一个 常数时,可把每个分式拆成常数与分式 的和或差． 数学　八年级　下册 １８６　 【例５】解方程: x－９ x－１１＋ x－５ x－７＝ x－８ x－１０＋ x－６ x－８． 思路分析 知条件　所给方程中的每个分式的分 子与分母都相差２． 明方法　利用拆项法解分式方程． 解 原 分 式 方 程 可 化 为x－１１＋２