第四章 1 因式分解-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

１３３　 第四章　因式分解 １　因式分解 􀅰了解因式分解的意义,理解因式分解的概念． 􀅰认识因式分解与整式乘法的相互关系———互逆关系． 􀅰会用因式分解解决相关问题． 知识点一　因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做 因式分解．如: 【例１】下列由左边到右边的变形,哪些是因式分解? 哪 些不是? 为什么? (１)３６a２b＝３a􀅰１２ab; (２)x２－２xy＋y２＝(x－y)２; (３)(a－１)(a＋２)＝a２＋a－２; (４) １ ３ax＋ １ ３bx＝ １ ３x (a＋b); (５)４a２－８a－１＝４a(a－２)－１． 解 题序 判断结果 原因分析 (１) 不是因 式分解 等号的左边是单项式,所以该变形不是因 式分解 (２) 是因式 分解 等号的左边是多项式,右边是几个整式的 积的形式,且左、右两边相等,所以该变形 是因式分解 (１)因 式 分 解 后 的 式 子 中,每个因式必须是整式,且 每个因式的次数都不能高于 原来多项式的次数． (２)因 式 分 解 的 对 象 是 多项式,而不是单项式,是对 多 项 式 整 体 变 形．例 如,把 ５a２bc 分 解 成 ５a２􀅰bc 就 不 是因式分解,因为５a２bc不是 多项式． (３)因 式 分 解 到 每 个 因 式都不能再分解为止． 数学　八年级　下册 １３４　 (１)若把整式乘法看成一 个变形过程,则多项式的因式 分解就是整式乘法的逆过程． 例如:(x－２)(x＋２)＝x２－４ 是整式乘法,反过来,x２－４＝ (x－２)(x＋２)是因式分解． (２)因式分解是将多项式 化成几个整式的积的形式,所 以因式分解的结果是否正确, 可以用整式乘法来检验． 积化和差是乘法, 乘法本身是运算; 和差化积是分解, 因式分解非运算． 互逆关系理思路, 参照题意细分辨． 续表 题序 判断结果 原因分析 (３) 不是因 式分解 该变形为整式乘法,不是因式分解 (４) 是因式 分解 等号的左边是多项式,右边是几个整式的 积的形式,且左、右两边相等,所以该变形 是因式分解 (５) 不是因 式分解 等号的左边是多项式,等号的右边不是几 个整式的积的形式,所以该变形不是因式 分解 知识点二　因式分解与整式乘法的区别与联系 关系 名称 因式分解 整式乘法 区别 将一个多项式化成几个 整式的积的形式 把几个整式相乘的形式 转化为一个整式的形式 联系 整式乘法与因式分解可以看成是“互逆”的恒等变 形．例如: m(a＋b＋c) 整式乘法 因式分解􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑 ma＋mb＋mc (a＋b)(a－b) 整式乘法 因式分解􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑 a ２－b２ (a±b)２ 整式乘法 因式分解􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑 a ２±２ab＋b２ 【例２】计算下列各式: (１)４m(m－１)＝　　　　; (２)(x＋３)(x－３)＝　　　　; (３)(y＋２)２＝　　　　． 根据上面的算式进行因式分解: (４)４m２－４m＝　　　　; (５)x２－９＝　　　　; (６)y２＋４y＋４＝　　　　． 解析 先利用整式乘法计算出(１)~(３)小题,再利用 因式分解与整式乘法的互逆关系,将(４)~(６)小题因 式分解． 答案 (１)４m２－４m　(２)x２－９　(３)y２＋４y＋４ (４)４m(m－１)　(５)(x＋３)(x－３)　(６)(y＋２)２ 第四章　因式分解 １３５　 题型一　因式分解与整式乘法关系的应用 【例１】已知x２－４x＋m 因式分解的结果为(x＋a)(x－ ６),求２a－m 的值． 思路分析 知条件　x２－４x＋m 因式分解的结果为(x＋a)(x－ ６)． 求问题　求２a－m 的值． 联知识　因式分解与整式乘法的关系． 化关键　先将(x＋a)(x－６)展开,再利用待定系数 法求解． 解 由题意,得x２－４x＋m＝(x＋a)(x－６),即x２－４x＋ m＝x２＋(a－６)x－６a． 所以 a－６＝－４, －６a＝m,{ 解得 a＝２, m＝－１２．{ 所以２a－m＝２×２－(－１２)＝１６． 题型二　利用图形面积的关系探究因式分解 【例２】如图①,在边长为a 的正方形中,剪去一个边长 为b的小正方形(a＞b),将余下部分拼成一个梯形 (图②),根据两个图形中的阴影部分面积的大小关 系,可以得到一个因式分解的等式为 (　　) 图① 　　 图② A．a２－２ab＋b２＝(a－b)２ B．a２＋２ab＋b２＝(a＋b)２ C．a２－b２＝(a＋b)(a－b) D．a２＋ab＝a(a＋b) 思路分析 根据正方形和梯形的面积公式把两个图形中 的阴影部分的面积分别表示出来,即可得到因式分解 本题巧妙地运 用 因 式 分 解的意义,建立关于待定系数 的方程