第三章 图形的平移与旋转 考前复习笔记-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

第三章　图形的平移与旋转 １２９　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　八年级　下册 １３０　 模型专题:旋转中的几种常见模型 模型一　自旋转模型 自旋转模型常见图形如下: 　　 此模型可看成将一个三角形绕某一 个点旋转而成,旋转前后的两个三角形 全等． 【例１】如图,△ABC 是等腰直角三角 形,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆 时针旋转后,能与△ACP′重合,已知 AP＝４,求PP′的长． 思路分析 知条件　△ABC 是等腰直角三角形, 将△ABP 绕点A 逆时针旋转 后,能与△ACP′重合,AP＝４． 套模型　该图形是自旋转模型的典型 图形,利用旋转前后两个三 角形全等找条件,结合勾股 定理求解． 解 根据旋转的性质,得△ACP′≌△ABP, 所以∠BAP＝∠CAP′,AP＝AP′． 因为∠BAP＋∠PAC＝９０°, 所 以 ∠CAP′ ＋ ∠PAC ＝ ９０°,即 ∠PAP′＝９０°． 所以△APP′是等腰直角三角形． 由勾股定理,得PP′＝ AP２＋AP′２ ＝ ４２＋４２ ＝４２． 模型二　手拉手模型 手拉手模型形成过程如图所示: 图中△OAB 与△OCD 均是等腰三 角形,将 △OCD 旋转后可得 ∠AOC＝ ∠BOD,连 接 BD,AC,可 得 △AOC≌ △BOD． 手拉手模型常见变形如图所示: 【例２】在四边形ABCD 中,AD＝４,CD＝ ３,∠ABC＝ ∠ACB＝ ∠ADC＝４５°, 求BD 的长． 第三章　图形的平移与旋转 １３１　 思路分析 知条件　在四边形ABCD 中,AD＝４, CD＝３,∠ABC＝∠ACB＝ ∠ADC＝４５°． 套模型　根据已知可得△ABC 是等腰 直角三角形,所以将△ADB 绕点A 顺时针旋转９０°,利用 手拉手模型解决问题． 解 因为∠ACB＝∠ABC＝４５°, 所以∠BAC＝９０°,且AC＝AB． 如图,将△ADB 绕点A 顺时针旋转 ９０°,得到△AEC, 所以AD＝AE,∠DAE＝９０°,BD＝CE, 所以∠EDA＝４５°,DE＝４２． 因为∠ADC＝４５°, 所以∠EDC＝４５°＋４５°＝９０°． 在Rt△DCE 中,利用勾股定理可得 CE＝ CD２＋DE２＝ ３２＋(４２)２＝ ４１, 所以BD＝CE＝ ４１． 模型三　半角模型 半角模型形成过程如图所示: 等边三角形含半角 (∠BDC＝１２０°) △EDF≌△GDF, EF＝BE＋CF 等腰直角三角形 含半角 △DAE≌△FAE, BD２＋CE２＝DE２ 当一个角包含着这个角的半角时, 常将半角两边的三角形通过旋转,合并 成新的三角形,此时构造的三角形与半 角所在的三角形全等． 【例３】如图,E,F 是等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的两动点,∠EAF＝４５°, CD⊥BC 且CD＝BE． (１)求证:△ABE≌△ACD; (２)求证:EF２＝BE２＋CF２． 思路分析 知条件　△ABC 是等腰直角三角形, ∠EAF＝４５°,CD ⊥BC 且 CD＝BE． 套模型　题图是等腰三角形经过旋转 形成的典型的半角模型,借 助相关性质进行证明即可． 证明 (１)因 为 △ABC 是 等 腰 直 角 三 角形, 所以AB＝AC, 所以∠B＝∠ACB＝４５°． 因为CD⊥BC,所以∠BCD＝９０°, 所 以 ∠ACD ＝ ∠BCD － ∠ACB ＝ ４５°＝∠B． 在△ABE 和△ACD 中, 数学　八年级　下册 １３２　 AB＝AC, ∠B＝∠ACD, BE＝CD, ì î í ï ï ï ï 所以△ABE≌△ACD(SAS)． (２)由(１)知△ABE≌△ACD, 所以AE＝AD,∠BAE＝∠CAD． 因为∠BAC＝９０°, 所 以 ∠EAD ＝ ∠CAE ＋ ∠CAD ＝ ∠CAE＋∠BAE＝∠BAC＝９０°． 因为∠EAF＝４５°, 所 以 ∠DAF ＝ ∠DAE － ∠EAF ＝ ４５°＝∠EAF． 因为AF＝AF, 所以△AEF≌△ADF(SAS), 所以DF＝EF． 在 Rt△DCF 中,根 据 勾 股 定 理,得 DF２＝CF２＋CD２． 因为CD＝BE, 所以EF２＝CF２＋BE２． 专题　数形结合思想 　　在本章中求解平移、旋转与平面直 角坐标系相结合等问题时,常需结合图 形解决问题． 【例】如图,在平面直角坐标系中,△ABC 位于第二象限,点 A 的坐标是(－２, ３),先把△ABC 向右平移４个单位长 度得到△A１B１C１,再把△A１B１C１ 绕 点C１ 顺时针旋转９０°得到△A２B２C１, 则点A２ 的坐标是 (　　) A．(５,２) B．(１,０) C．(３,－１) D．(５,－２) 解析 △A１B１C１ 与 △A２B２C１ 如 图,可 知点A２ 的坐标为(５