第二章 5 一元一次不等式与一次函数-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

第二章　一元一次不等式与一元一次不等式组 ７７　 ５　一元一次不等式与一次函数 􀅰体会一元一次不等式与一次函数之间的联系． 􀅰会利用一次函数的图象求解一元一次不等式． 􀅰能综合应用一元一次不等式和一次函数的知识解决实际问题,并会对实际问 题中的方案设计作出分析与决策． 　 知识点一 　 利用一次函数的图象解一元一次不 等式kx＋b＞０(或kx＋b＜０) 【例１】作出函数y１＝２x－４与y２＝－２x＋８的图象, 观察图象并回答下列问题: (１)当x 取何值时,２x－４＞０? (２)当x 取何值时,－２x＋８＞０? (３)当x 取何值时,２x－４＞２? 解 作图象如图所示． 利用一次函数 的 图 象 解 形如kx＋b＞０(或kx＋b＜０) 的一元一次不等式时,要抓住 关键点(如函数图象与坐标轴 的交点),并弄清在关键点的 左侧、右 侧、上 方、下 方 的 含 义,如函数y＝３x－９的图象 与两坐标轴的交点分别为(３, ０),(０,－９),在(３,０)左侧的 图象在x 轴 下 方,对 应y 值 小于 ０,右 侧 则 相 反;在 (０, －９)上方的图象在y 轴右侧, 对应x 值大于０,下方则相反． 数学　八年级　下册 ７８　 借助一次函数图象解形如 k１x＋b１＞k２x＋b２(或k１x＋ b１＜k２x＋b２)的一元一次不 等式,是通过比较两个函数图 象上的点的高低来解答的,一 定要注意两个一次函数对应 的两条直线的交点坐标,这往 往是解决问题的关键． 使２x－４＞０成立的x,就是函数y１＝２x－４的图象 在x 轴上方的所有点的横坐标的集合． 同理,使－２x＋８＞０成立的x,就是函数y２＝－２x＋ ８的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合． 使２x－４＞２成立的x,就是函数y１＝２x－４的图象 在直线y＝２上方的所有点的横坐标的集合． 由图象可知, 
  (１)当x＞２时,２x－４＞０． (２)当x＜４时,－２x＋８＞０． (３)当x＞３时,２x－４＞２． 　 　 知识点二 　 利用一次函数的图象解一元一次不 等式k１x＋b１＞k２x＋b２(或k１x＋ b１＜k２x＋b２) 【例２】利用图象法解不等式:－x＋２＞x＋４． 解 在同一平面直角坐标系中画出直线l１:y１＝－x＋ ２和直线l２:y２＝x＋４,如图所示． 两条直线的交点坐标为(－１,３)． 观察图象可知,当x＜－１时,直线l１ 在直线l２ 的上 方,即－x＋２＞x＋４, 所以x＜－１是不等式－x＋２＞x＋４的解集． 第二章　一元一次不等式与一元一次不等式组 ７９　 　 知识点三 　 借助一次函数构建一元一次不等式 解答实际问题 　利用一元一次不等式与一次函数之间的关系,我们可 以用来解答比较型的方案决策问题,该问题一般是对 两种或几种不同的方案进行比较,从而确定最佳 方案． 【例３】某种铂金饰品在甲、乙两个商店均有销售．甲 店标价４７７元/克,按标价出售,没有优惠．乙店标价 ５３０元/克,但若买的铂金饰品的质量超过３克,则超 出部分可打八折出售． (１)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费 用y(单位:元)和质量x(单位:克,x＞３)之间的函数 表达式; (２)李阿姨要买一条质量不少于４克且不超过１０克 的此种铂金饰品,到哪个商店购买最合算? 解 (１)y甲 ＝４７７x; y乙 ＝５３０×３＋５３０(x－３)×８０％＝４２４x＋３１８． (２)由y甲 ＝y乙 ,得４７７x＝４２４x＋３１８,解得x＝６; 由y甲 ＞y乙 ,得４７７x＞４２４x＋３１８,解得x＞６; 由y甲 ＜y乙 ,得４７７x＜４２４x＋３１８,解得x＜６． 因为要买的铂金饰品的质量不少于４克且不超过１０ 克,所以当x＝６时,到甲、乙两个商店购买费用相同; 当４≤x＜６时,到甲商店购买合算; 当６＜x≤１０时,到乙商店购买合算． 确定出实际问 题 中 相 关 变量之间的关系是正确列出 函数关系式的关键．比较函数 值的 大 小 时,要 注 意 分 类 讨 论,且 要 注 意 自 变 量 的 取 值 范围． 解答比较型的方案决 策问题的一般步骤 (１)根据条件中两组独立 的变量关系,列出相关的两个 一次函数表达式y１＝k１x＋ b１ 和y２＝k２x＋b２． (２)根据y１ 与y２ 之间的 大小关系(y１＞y２,y１＝y２ 或 y１＜y２),分情况求得相应的 x 的取值范围或值． (３)比较所得的结果,根 据问 题 的 要 求 作 出 判 断 或 决策． 题型一　利用一次函数的图象解一元一次不等式 一条直线型 【例１】函数y＝－２x＋m 的图象如图所 示,P(２,２)是图象上的一点,观察图 象回答问题． (１)当x 在什么范围内时,y＜０? 解决本题的关 键 是 先 确 定直