第二章 2 不等式的基本性质-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

数学　八年级　下册 ５６　 ２　不等式的基本性质 􀅰经历不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同． 􀅰掌握不等式的基本性质,能运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化 成“x＞a(x≥a)”或“x＜a(x≤a)”的形式． (１)“两边”是指不等号的 左、右两边． (２)“都”是指不等式的两 边必须同加(或同减)． 解这类题目时,首先比较 所得不等式的左右两边与原 不等式左右两边的变化,然后 判断是否满足不等式的基本 性质１即可． 知识点一　不等式的基本性质１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:不等式的基本性质１和等式的基本性质１类 似,叙述不等式的基本性质１时,应该说成“􀆺􀆺不 等号的方向不变”,不要受等式的基本性质１的影 响,笼统地说成“􀆺􀆺结果仍为不等式”． 【例１】下列说法正确吗? 为什么? (１)若a＋３＞b＋３,则a＞b; (２)若a－b＜０,则a＜b; (３)若a＜b,则a－１＞b－１． 解 (１)正确．理由:由不等式的基本性质１,两边都减 ３,得a＋３－３＞b＋３－３,即a＞b,故(１)正确． (２)正确．理由:由不等式的基本性质１,两边都加b, 得a－b＋b＜０＋b,即a＜b,故(２)正确． (３)不正确．理由:根据不等式的基本性质１,两边都减 １,得a－１＜b－１,故(３)不正确． 第二章　一元一次不等式与一元一次不等式组 ５７　 知识点二　不等式的基本性质２ 【例２】下列说法正确吗? 为什么? (１)若２x＞５,则x＞ ２ ５ ; (２)若x＞y,则x＞３y; (３)若 １ a＞－３ ,则１＞－３a． 解 (１)正确．理由:根据不等式的基本性质２,不等式 的两边都除以２,不等号的方向不变,因为５÷２＝ ５ ２ , 所以x＞ ５ ２＞ ２ ５ ,故(１)正确． (２)不正确．理由:根据不等式的基本性质２,不等式的 两边都乘３,不等号的方向不变,由于左边没有乘３, 故(２)不正确． (３)不正确．理由:根据不等式的基本性质２,不等式的 两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变, 而题中的a 的正负不确定,故(３)不正确． 知识点三　不等式的基本性质３ １．不等式的基本性质３ ２．不等式的基本性质２与３的区别 不等式的基本性质２与３都是在不等式的两边都乘 或除以同一个不为０的数,但在不等式的基本性质２ 中,这个数是正数,不等号的方向没有改变;在不等式的 基本性质３中,这个数是负数,不等号的方向必须改变． (１)要正确理解不等式的 基本性质２,需掌握以下三点: ①都乘(或除以);②同一个正 数;③正确理解“不等号的方 向 不 变”的 含 义,如 原 来 为 “＞”,变化后仍为“＞”． (２)在不等式的基本性质 ２中,都乘(或除以)的数必须 是一个正数,不等号的方向才 不变．当不等号的两边都乘０ 时,不等号变为等号． 将不等式的左 右 两 边 都 乘(或除以)同一个含有字母 的式子时,一定要考虑含有字 母的式子的值是正数、负数还 是０． 运用不等式的 基 本 性 质 ２或３对不等式进行变形时, 在同时乘(或除以)同一个数 时,必须先弄清这个数是正数 还是负数,如果是负数,不等 号的方向要改变． 数学　八年级　下册 ５８　  不等式的其他性质 (１)对称性:若a＞b,则 b＜a; (２)传递性:若a＞b,b＞ c,则a＞c; (３)同 向 相 加 性:若a＞ b,c＞d,则a＋c＞b＋d; (４)等价性:若a≥b,b≥ a,则a＝b． 【例３】用适当的不等号填空,并说明变形的根据． (１)若２x＞－３y,则－６x　　　９y; (２)若８a＜－４b,则－２a　　　b． 解 (１)＜　根据不等式的基本性质３,不等式的两边都 乘－３,不等号的方向改变,所以２x×(－３)＜－３y× (－３),即－６x＜９y． (２)＞　根据不等式的基本性质３,不等式的两边 都除以－４,不等号的方向改变,所以８a÷(－４)＞ －４b÷(－４),即－２a＞b． 教材第４１页随堂练习第２题 教材随堂练习考 查 了 运 用不等式的基本性质对不等 式进行变形,中考题是教材随 堂练习的简单变式,解此类题 目时,应先观察不等式两边是 由原来的不等式经过怎样的 变化得来的,再对照不等式的 性质决定是否要改变不等号 的方向． １．(内蒙古包头中考)若 m＞ n,则下列不等式中正确的是 (　　) A．m－２＜n－２ B．－ １ ２m＞－ １ ２n