6.4.3　余弦定理、正弦定理 第三课时　正弦定理(二)-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第三课时　正弦定理(二) 知识点归纳 一、利用正弦定理、余弦定理解三角形 在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.2. 三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不确定性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 二、判断三角形形状 在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的取值范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 题型演练 题型一　利用正弦、余弦定理解三角形 例1 已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B成立，求角C的大小. 小结　若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数. 变式1 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解三角形. 题型二　判断三角形的形状 例2 在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状. 小结　利用正弦定理判断三角形形状的方法： (1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状； (2)化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状. 变式2 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状. 题型三　正弦定理和余弦定理的综合应用 例3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B. (1)求B的大小； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值. 小结　1.边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段. 2.解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式. 变式3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sin C. 总结 1.重要思想与方法 (1)利用正、余弦定理解三角形要结合题目的具体条件，正确选择定理实现边与角的互化. (2)应用正弦、余弦定理解三角形应用了转化与化归、数形结合的思想方法. 2.易错易混点提醒 利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．（2023下·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形 3．（2023下·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，则A的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·江苏盐城·高一统考期中）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·甘肃酒泉·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为锐角三角形 C．若，则的面积是 D．若外接圆半径是R，内切圆半径为r，则 6．（2023下·江西抚州·高一校联考期中）如图，四边形的外接圆直径为，且，则该四边形周长的最大值为（    ）    A．20 B． C． D．30 二、多选题 7．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）已知的内角所对的边分别为,则下列命题正确的是（    ） A．若,则一定为等腰三角形 B．若,则 C．若,则的最大内角为 D．若为锐角三角形,则 8．（2023下·河北·高一校联考阶段练习）在中，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的直径是 三、填空题 9．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别是