专题1.3 解直角三角形的应用（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.3 解直角三角形的应用 【典例1】如图（1）是一个创意台灯，图（2）是其抽象示意图，已知支架，交于点，支架与水平底座的夹角，，，，灯罩抽象为，，，． （1）若支架， ①求的度数； ②求与水平底座之间的距离．（结果精确到） （2）若在（1）的条件下，将支架绕点旋转，使与水平底座之间的距离为，求支架的旋转方向及角度．（参考数据：，，，） 【思路点拨】 （1）①过点作，交于点K，求出的角度，即可解答； ②过点分别作，的垂线，垂足为，则四边形为矩形，根据特殊直角三角形的相关性质，即可解答； （2）旋转后，与水平底座之间的距离增加了，即点在竖直方向上上升了，再根据解直角三角形，即可解答． 【解题过程】 （1）①如图（1），过点作，交的延长线于点，交于点． ，． ，， ．   ， ． ，， ， ．   ②解：，， ． 如图（1），过点分别作，的垂线，垂足为，则四边形为矩形， ，． ，．   ，    ，，， ．   答：与水平底座之间的距离约为． （2）解：由（1）②可知当时，与水平底座之间的距离约为， 若使与水平底座之间的距离为，则需将支架绕点逆时针旋转． 设需要将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点为，如图（2）． ， 旋转后，与水平底座之间的距离增加了，即点在竖直方向上上升了（关键点）． 过点作，垂足为，过点作于点． 结合（1）②可知． ， ， ，   将支架绕点逆时针旋转，与水平底座之间的距离为．   1．（2023上·上海闵行·九年级统考期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    （1）若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ （2）如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 2．（2023·河南周口·校考三模）郑州博物馆（新馆）位于郑州奥体中心附近，周边有郑州大剧院，郑州植物园等，其主展馆以郑州出土的商代青铜方鼎为造型基础，整体建筑风格取鼎器粗犷与精美相统一的神韵，让人叹为观止．某校数学小组的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量郑州博物馆（新馆）的高度，如图，他们在C处测得顶端A的仰角为，沿方向前进17m到达D处，又测得顶端A的仰角为．已知测角仪的高度为1.5m，测量点C，D与郑州博物馆（新馆）的底部B在同一水平线上，求郑州博物馆（新馆）的高度．（结果精确到1m．参考数据：，，）    3．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，某工厂准备开发一块四边形的空地，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知千米，千米．（参考数据： ，）    （1）如果要在空地四周建立防护栏，需要多少千米的防护栏？（精确到千米） （2）该工厂计划用380万元改造该地块，如果每平方千米的改造费用为20万元，通过计算，判断改造费用是否充足？ 4．（2023·全国·九年级专题练习）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． 5．（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄，是底座，与所成的夹角为36.8°，点是把柄转轴所在的位咒，且点到底座的距离．与一根套管相连，可绕点转动，此时，，套管内含打孔针，打孔针的顶端触及到，但与不相连，始终与垂直，且，．    （1）打孔针的针尖离底座的距离是多少厘米? （2）压下把柄，直到点与点重合，如图3，此时，．两点重合，把柄将压下打孔针并将它锲入放在底座上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针锲入底座有多少厘米？ （参考数据：，，） 6．（2023·河南周口·校考三模）如图是一个倾斜角为的斜坡的截面示意图．已知斜坡顶端到地面的距离为．为了对这个斜坡上的绿植进行喷灌，在斜坡底端处安装了一个喷头，喷头到地面的距离为，水珠在距喷头水平距离处达到最高，喷出的水珠可以看作抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中喷出水珠的竖直高度为（单位：）（水珠的竖直高度是指水珠到水平地面的距离），水珠与的水平距离为（单位：）．    （1）求抛物线的表达式． （2）斜坡正中间有一棵高的树苗，通过计算判断从喷头喷出的水珠能否越过这棵树苗． （3）若有一个身高为的小朋友经过此斜坡，想要不被淋湿衣服，他到喷头的水平距离应在什么范围内？ 7