专题1.2 解直角三角形与函数综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.2 解直角三角形与函数综合 【典例1】如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点．顶点为．    （1）求拋物线的解析式； （2）若抛物线在第四象限上有一点，，求点的坐标； （3）如图2，直线交抛物线于两点．直线轴，直线与交于点，求的最小值． 【思路点拨】 （1）先把抛物线表示为顶点式，再求的值即可； （2）设直线与轴交于点，过点作于点，设，，根据三角函数即可； （3）设，，先根据根与系数的关系，得，再求出点在直线上运动，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作，当点与点重合时，有最小值即可． 【解题过程】 （1）解：抛物线的顶点为， ， ， ， 故拋物线的解析式为； （2）解：拋物线的解析式为， 时，， 解得：， ， 设直线与轴交于点，过点作于点，    ，， 是等腰直角三角形， ， ， 设，， ， ， ，， 在中， ， 设直线的解析式为，过点，， ， 解得：， 故直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点在第四象限， 故； （3）解：设，， 联立， 得， ， ， 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 故直线的解析式为， 直线轴，， ， ， 设，则， 点在直线上运动， 设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作，      当点与点重合时，有最小值， 时，，， 时，，， ， 在中，， ， ． 1．（21·22下·长沙·开学考试）已知抛物线（）与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为 ．    （1）如图1，请求出三点的坐标； （2）点为轴下方抛物线（）上一动点． ①如图2，若时，抛物线的对称轴交轴于点，直线交轴于点，直线交对称轴于点，求的值； ②如图3，若时，点在轴上方的抛物线上运动，连接交轴于点，且满足，当线段运动时，的度数大小发生变化吗？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 2．（22·23下·武汉·模拟预测）抛物线过点，是抛物线上第二象限一动点，    （1）求抛物线的解析式； （2）若，交轴于，求的值； （3）过点的不与轴平行直线与抛物线只有一个公共点，点与点关于轴对称，平移直线交抛物线于、，求证平分． 3．（21·22下·恩施·模拟预测）如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． （1）直接写出，的值； （2）如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图，连接，，若，求点的坐标． 4．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴的负半轴上，直线与轴，轴分别交于点、两点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称．    （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，点为第三象限一点，以为边作等边，连接、、、、，设点的纵坐标为，的面积与为的面积和为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若为钝角，的面积，，求点坐标． 5．（21·22九年级下·湖北武汉·自主招生）如图1在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且，，.    （1）求过A、D、E三点的拋物线的解析式； （2）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点G，交直线于点H，平行于y轴的直线，在抛物线的对称轴左侧，交抛物线于S，交直线于T，若，求a的值； （3）如图3，将抛物线平移使顶点落在原点上，在射线上确定一点P，过点P作直线，交y轴于点F，交抛物线于M，N，若的外心在边上，且，求点P的坐标． 6．（21·22下·武汉·一模）已知抛物线．      （1）若抛物线的对称轴为，求该抛物线的解析式； （2）如图1，在（1）的条件下，抛物线与x轴交于O，A两点，顶点为B，已知点，连，若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线过两个定点，其中一个定点为第一象限内的点E，另一个定点为x轴上的点F，过点F作直线与抛物线有且只有一个交点（不与x轴垂直），直线与直线交于点M．直线ME交抛物线于另一点P．过点P作线段轴于点Q，求证；线段的长为定值． 7．（22·23·河源·三模）如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．    （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积； （3）如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到． ①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形； ②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 8．（21·22上·哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交与两点，与轴交