专题1.1 解直角三角形与几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.1 解直角三角形与几何综合 【典例1】如图，在中，，点C在线段的延长线上，过点C作，连接，再过点A作于点F；    （1）如图1，连接，若，，，，求线段的长； （2）如图2，在线段上取一点H，连接、，当平分，时，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，当取得最小值时，请直接写出线段AH的长．   【思路点拨】 （1）过点作于，利用勾股定理可得，； （2）连接，过作于，则有，可证，则，然后可得、、、四点共圆，则可证，进而问题可求证； （3）在线段上截取，延长交的延长线于，连接，，，可证得，，设，则，利用解直角三角形可得，再由勾股定理可得，作点关于的对称点，连接，，交于，则，由于，故当且仅当、、三点共线时，为最小值，过点作于，过点作于，应用解直角三角形即可求得答案． 【解题过程】 （1）解：过点作于，如图1， 则， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在 中，，， ， ， 在中， ， 线段的长为； （2）证明：连接，过作于，如图2，    则， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 与在异侧， 、、、四点共圆， ， ，， ， ， ， 即； （3）解：如图3，在线段上截取，延长交的延长线于，连接，，，    则， 由（2）得， ， 在和中， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 如图4，作点关于的对称点，连接，，交于，    则， ，当且仅当、、三点共线时，为最小值， 过点作于，过点作于， 则， 设，则， ， ，即， ， ，即， ， ， ， ， 设，则， ， ， （负值舍去）， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， 即， ， ，即， ． 1．（2023·辽宁·中考真题）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．        （1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当，时，请直接写出的长． 2．（22·23下·安徽·专题练习）在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接．    （1）特例发现：如图1，当，落在直线上时． ①求证：； ②填空：的值为　　； （2）类比探究：如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用：在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长． 3．（22·23·濮阳·一模）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动．    【动手实践】 （1）如图（1），已知正方形纸片，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则 °，三条线段的关系为 ； 【拓展应用】 （2）解决下面问题： ①如图（2）作于点N，交于点P，求证：； ②如图（3），数学小组在图（1）的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在边上，，请直接写出此时的长度． 4．（22·23下·泉州·模拟预测）已知：如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，连接并延长交的延长线于点，过点作，交直线于点，连接．    （1）求的值； （2）如图，连接，点是的中点． 当时，求的长； 点从点运动到点的过程中，求点经过的路径长． 5．（2023·江苏镇江·中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：    （1）取，的中点D，E，在边上作； （2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H； （3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置； （4）延长，交于点F． 小宏发现并证明了以下几个结论是正确的： ①点Q，A，T在一条直线上； ②四边形是矩形； ③； ④四边形与的面积相等． 【任务1】请你对结论①进行证明． 【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：． 【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长． 6．（23·24九年级上·江苏无锡·阶段练习）【基本图形】（1）如图1，在矩形中，于点，交于点．求证：； 【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，，．是边上的一动点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．试探究是否为定值?若是，请求出的值；若不是