精品解析：云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

2022级高二年级教学测评月考卷（四） 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅲ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第4页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C D. 2. 若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则（ ） A. B. C. 9 D. 19 4. 已知在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图1甲、乙所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为4，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设数列满足且是前项和，且，则（ ） A. 2024 B. 2023 C. 1012 D. 1011 8. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图甲、乙所示统计图，下列说法中正确的是（ ） A. 2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增 B. 2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降 C. 2021年全国居民人均消费支出24100元 D. 2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比不足 10. 已知圆与圆，下列说法正确的是（ ） A. 与的公切线恰有4条 B. 与相交弦的方程为 C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则 11. 已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（ ） A. B. 当为奇数时， C. 当为偶数时， D. 数列的前项和等于 12. 某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（ ） A. 椭圆的“蒙日圆”的面积为 B 对直线上任意点，都有 C. 椭圆的标准方程为 D. 椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若函数的最小值为，则常数的值为________. 14. 已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为原点，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为________. 15. 已知等比数列，记其前项乘积.若，，则的前5项和为________. 16. 已知双曲线焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，则双曲线的方程为________；设，分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为________ 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在中，，，分别为内角，，所对的边，. （1）求角A； （2）若，求面积的最大值. 18. 已知圆，直线. （1）求直线恒过定点的坐标； （2）求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 19. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 20. 如图，在三棱锥中，平面，点，分别是和的中点，设，，直线与直线所成的角为. （1）求的长