专题07 任意角、弧度制、三角函数概念及诱导公式-2023-2024学年高一数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）

专题07 任意角、弧度制、三角函数概念及诱导公式 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 5 【重点保分一】任意角 5 【重点保分二】弧度制 6 【重点保分三】三角函数定义 7 【重点保分四】同角齐次式（切弦互化） 8 【重点保分五】三角函数值符号判断 9 【重点保分六】诱导公式化简与求值 9 【难点增分】 10 【难点增分一】由值求角 10 【难点增分二】sin α±cos α与sin αcos α的关系 11 【难点增分三】诱导公式的综合应用 12 【培优满分】 13 【培优满分一】三角恒等式证明 13 【培优满分二】数学建模（文化背景类型） 14 【技巧总结】 16 【单元检测】 20 知识梳理 1.角的相关概念 (1)角的分类：①一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的终边和始边重合. ②任意角包括正角、负角和零角，角的范围不再限于0°～360°. (2)角的加法与减法 ①若角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. ②设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. ③相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β). 2.象限角 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 4.角度制与弧度制 (1)度量角的两种单位制 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad (2)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝值是|α|＝. (3)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 5.角度制与弧度制的换算 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π__rad 2π rad＝360° 180°＝π__rad π rad＝180° 1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 6.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 7.三角函数的定义 任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin__α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos__α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan__α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 8.同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. ②商数关系：tan α＝. 语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. (2)同角三角函数基本关系的变形 ①sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.②sin α＝cos__αtan__α；cos α＝. 9.sin α±cos α，sin αcos α之间的关系 (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2. 10.各象限三角函数值的符号 正弦函数一、二象限正，三、四象限负；余弦函数一、四象限正，二、三象限负；正切函数一、三象限正，二、四象限负. 11.诱导公式一 sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α，其中k∈Z，