1.2.4二面角第1课时 导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 1.2.4 二面角 课型 新授课 课时 第1课时 主备教师 学习目标 1.掌握二面角的概念，理解二面角的平面角的含义. 2.会用几何法解决二面角的计算问题. 3.用向量方法解决二面角的计算问题 一、知识填空 知识点一 二面角 1． 定义：从一条直线出发的两个 所组成的图形称为二面角，如图：l、α、β分别称为二面角的什么？ 2． 在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足分别在半平面α和β内作 ，则射线 OA和OB所成的角称为 . 范围：（1）二面角的平面角的范围是 ；平面角是直角的二面角称为 . （2）两个相交平面所成角的的范围是 知识点二　空间向量与二面角 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ， 则θ＝ 或 ，如图①②所示． 特别地，sin θ＝ ． θ为锐角时，cosθ＝ ；θ为钝角时，cosθ＝ . 二、预习自测 1.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小相等．(　 　) 2.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(　 　) 3..若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于 .  三、典例探究 问题1：如何利用定义求二面角平面角的大小？ 问题2：如图所示，设为二面角的半平面上一点，过点做半平面的垂线，设O为棱上一点. （1）判断是什么条件； （2）由二面角的作法，你能得到什么启发？ 问题3：如果, 分别是平面, 的一个法向量，设所成角的大小为，通过作图讨论与<, >的关系. 例1：如图所示三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC，SA=SC=3，AB=BC=2，且AB⊥BC，求二面角S-AB-C的大小. 例2：如图所示，已知直三棱柱中, ，，=2，且D是的中点.求平面BDC与平面BD所成角的大小. 四、课堂检测 1.已知二面角P-AB-P’的大小为30°,且PP’丄面 ABP’,△ABP的面积为3,求△ABP的面积. 2.如图，已知AB是圆的直径，且AB=4，PA垂直于圆所在的平面，且PA=，M是圆周上一点，且∠ABM=30°，求二面角A-BM-P的大小. 3.已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都为1，求其侧面与底面所成角的余弦. 五、小结 二面角的求法 (1)定义法． (2)三垂线定理法：A∈β，过A作AB⊥α交平面α于点B，在α内作BO⊥l于点O，连接AO，由三垂线定理知AO⊥l，故∠AOB是二面角α­l­β的平面角，如图． (3)用射影面积公式cos θ＝，其中S′为射影面积，S为原图形面积． 设n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β所在平面的法向量，则向量n1与n2的夹角或其补角就是二面角的平面角(如图所示)． 学科网（北京）股份有限公司 $$