特色小卷25 利用导数研究双变量-【精彩三年】2024高考数学汇编与名师优创特色64卷教师用书word（新教材）

特色小卷25　利用导数研究双变量 [时间：40分　总分：70分] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分． 若ex1＝ln x2，令t＝x2－x1，则t的最小值属于(　　) A． B． C． D． 已知函数f＝ax＋b，g＝ln ，若对∀x>－2，f≥g恒成立，则实数的取值范围为(　　) A． B． C． D． 已知0<x<y<π，且ey sin x＝ex sin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是(　　) A．y< B．x＋y< C．cos x＋cos y>0 D．sin x>sin y 已知α∈，β∈，且βtan α＝2(1－cos β)，则(　　) A．<α< B．<β< C．<β<α D．<α<β 若方程x－2ln x＋a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则(　　) A．＋<1 B．＋>1 C．＋≤1 D．＋≥1 对任意的正数x，都存在唯一的正数y，使x2－ay2＝0成立，则实数a的取值范围为(　　) A．∪ B． C． D． 若对∀x∈，∀y∈，不等式ex＋y-2＋ex－y-2＋2－4ax≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 已知函数f(x)＝e2x，g(x)＝x－1，对∀x1∈R，∃x2∈(0，＋∞)，使f＝g，则x2－x1的最小值为(　　) A．1 B． C．2＋ln 2 D．＋ln 2 二、多选题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 已知函数f(x)＝xex＋ex，g(x)＝x ln x＋x，若f＝g>0，则可取(　　) A．－1 B．－ C．e D．3 已知a>0，b>0，abea＋ln b－1＝0，则(　　) A．ln b> B．ea> C．a＋ln b<1 D．ab<1 已知函数f(x)＝x＋ln (x－1)，g(x)＝x ln x，若f＝1＋2ln t，g＝t2，则ln t的取值可能是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 已知函数f＝ax ln x－x2－ax.若∀x1，x2∈，且x1≠x2都有<3，则实数a的取值范围是________． 已知函数f＝2x＋－4，函数g＝－m，若对任意的x1∈，存在x2∈，使得f≤g，则实数m的取值范围为________． 已知函数f＝ax3－3x＋3，g＝4x－2x+1＋2，若对于任意的x1，x2∈，都有f≥g成立，则a＝__________． 特色小卷25　利用导数研究双变量 1．C　【解析】 设a＝ex1＝ln x2，则x1＝ln a，x2＝ea，t＝x2－x1＝ea－ln a， 令h(x)＝ex－ln x，h′(x)＝ex－，易知h′(x)单调递增， 且h′＝－2<0，h′(1)＝e－1>0，则存在x0∈， 使h′(x0)＝ex0－＝0， 即当x∈(0，x0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增． 又h′(x0)＝ex0－＝0⇒ex0＝，ln x0＝－x0， 则h(x)≥h(x0)＝ex0－ln x0＝x0＋，x0∈， 易知h(x0)＝x0＋在上单调递减，即h(1)＝2<h(x0)<h＝. 2．B　【解析】 由题意，f(x)≥g(x)⇔f(x)－g(x)≥0， 令t(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋b－ln (x＋2)， 则∀x>－2，f(x)≥g(x)恒成立，即t(x)≥0恒成立， 即t(x)min≥0， t′(x)＝a－＝(x>－2)， 令t′(x)＝0，得x＝＝－2>－2； 令t′(x)>0，得x>，即t(x)在上单调递增； 令t′(x)<0，得－2<x<，即t(x)在上单调递减． ∴t(x)min＝t≥0⇒1－2a＋b＋ln a≥0， ∴b≥2a－1－ln a⇒≥2－. 令h(a)＝2－，∴h′(a)＝. 令h′(a)>0，得a>1，即h(a)在(1，＋∞)上单调递增； 令h′(a)<0，得0<a<1，即h(a)在(0，1)上单调递减． ∴h(a)min＝h(1)＝1， ∴≥1. 3．C　【解析】 因为ey sin x＝ex sin y，所以＝， 令g(t)＝，所以g(x)＝g(y)，对函数g(t)＝，t∈求导， 得g′(t)＝＝， 由g′(t)>0，有t∈， 由g′(t)<0，有t∈， 所以g(t)＝在上单调递增，在上单调递减． 因为0<x<y<π，由g(x)＝g(y)，有0<x<<y<π， 故A错误； 因为0<x<y<π，所以ey>ex，由＝，有sin y>sin x， 故