特色小卷22 导数在立体几何中的应用-【精彩三年】2024高考数学汇编与名师优创特色64卷教师用书word（新教材）

特色小卷22　导数在立体几何中的应用 [时间：40分　总分：70分] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分． 已知球О的半径为3，圆锥SO1的顶点与底面都在该球面上，则圆锥SO1的体积最大值为(　　) A．32π B． C．32π D． 已知体积为V的正三棱柱ABC­A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，当球O的表面积S取得最小值时，该正三棱柱的底面边长a与高h的比值为(　　) A． B． C． D． 已知正三棱柱ABC­A1B1C1的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为48π，则三棱柱ABC­A1B1C1的体积的最大值为(　　) A．12 B．15 C．24 D．48 长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形(原始卵形)＋圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，可近似看作一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为1∶3，则该模型的体积最大值为(　　) A．40π B．80π C．160π D．180π 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，若在该圆锥内部有一个与该圆锥共轴的圆柱，则这个圆柱的体积最大为(　　) A． B． C． D． 已知正四棱锥的高为h，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且h≥3，则该正四棱锥体积的最大值是(　　) A． B．18 C． D．27 如图，一块边长为2 dm的正三角形铁片上有三块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用剩余的三个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥容器，则容器的容积最大为(　　) A． dm3 B． dm3 C． dm3 D． dm3 某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长l∈，则该正六棱锥体积的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 若将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是(　　) A．当x＝时，方盒的容积最大 B．当x＝时，方盒的容积最小 C．方盒容积的最大值为 D．方盒容积的最小值为 已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r(0<r<2)，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是(　　) A．当r＝1时，V＝ B．V存在最大值 C．当r在区间内变化时，V逐渐减小 D．当r在区间内变化时，V先增大后减小 如图，在五面体PQABCD中，底面ABCD为矩形，△ADP和△BCQ均为等边三角形，PQ∥平面ABCD，AB＝7，AD＝2，且二面角P­AD­C和Q­BC­A的大小均为θ.设五面体PQABCD的各个顶点均在球O的表面上，则(　　) A．有且仅有一个θ，使得五面体PQABCD为三棱柱 B．有且仅有两个θ，使得平面ADP⊥平面BCQ C．当cos θ＝－时，五面体PQABCD的体积取得最大值 D．当cos θ＝0时，球O的半径取得最小值 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 一圆柱内接于半径为3的球，当圆柱体积最大时其底面半径为________． 如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径相等(半径大于1分米).若该几何体的表面积为12π平方分米，其体积为V立方分米，则V的取值范围是________. 2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图1所示．现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为10 cm，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O，A1，B1，C1，D1，E1，F1为圆O上的点，如图2所示．△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA，使A1，B1，C1，D1，E1，F1重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为________cm. 　　　 　　　　　图1　　　　　　　　　图2 特色小卷22　导数在立体几何中的应用 1．B　【解析】 设圆锥SO1的底面半径为r，球心O到圆锥SO1的底面距离为h，如图所示， 圆锥SO1的体积取最大值时，圆锥的高为h＋3，