9.3 用正多边形铺设地面-【教材解读】2024春七年级下册数学（华东师大版)

９．３　用正多边形铺设地面 知识点一　用相同的正多边形铺设地面 使用给定的某种正多边形,当围绕一点拼在一起的几 个内角加在一起恰好组成一个周角时,就可以铺满 地面． 正多边形 的边数 ３ ４ ５ ６ 内角和 １８０° ３６０° ５４０° ７２０° 每个内角 的度数 ６０° ９０° １０８° １２０° 能否铺满 地面 能 能 否 能 理由 ６×６０°＝ ３６０° ４×９０°＝ ３６０° ３６０°不能被 １０８°整除 ３×１２０°＝ ３６０° 正多边形 的边数 ７ ８ ９ １０ 内角和 ９００° １０８０° １２６０° １４４０° 每个内角 的度数 ( ９００ ７ )° １３５° １４０° １４４° 能否铺满 地面 否 否 否 否 理由 ３６０°不能被 (９００７ )°整除 ３６０°不能被 １３５°整除 ３６０°不能被 １４０°整除 ３６０°不能被 １４４°整除 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　注意:用相同的正多边形铺满地面的条件:这种 正多边形的内角能整除３６０°． 'F 使用正多边形铺满地面,是 指既不留下一丝空白,又不 相互重叠．  镶嵌(密铺)的概念 用一 种 或 多 种 平 面 图 形 拼 在一 起,形 成 完 整 的、没 有 缝隙的平面,这种拼图的方 式称为镶嵌或密铺． １５１ ① ② ③ ④ 图９．３Ｇ１ 【例１】用正十二边形能铺满地面吗? 为什么? 解:用正十二边形不能铺满地面．因为正十二边形的每一 个内角的度数是 (１２－２)×１８０° １２ ＝１５０° ,而３６０°不能被 １５０°整除,即由１５０°的整数倍不能得到一个周角,故不 能铺满地面． 知识点二　用多种正多边形铺设地面 用多种正多边形铺满地面的条件 (１)每一种正多边形的边长要相等; (２)在同一个顶点处所有内角的度数之和为３６０°． 用两种正多边形能铺满地面的情况 正三角形与正方形: 假设在一点处有m 个正三角形,n 个正方形,应满 足６０m＋９０n＝３６０,即２m＋３n＝１２．它的正整数 解为 m＝３, n＝２．{ 也就是说,一点处有３个正三角形,２ 个正方形,如图９．３Ｇ１①． 正三角形与正六边形: 假设在一点处有m 个正三角形,n 个正六边形,应 满足６０m＋１２０n＝３６０,即m＋２n＝６．它的正整数 解为 m＝４, n＝１{ 或 m＝２, n＝２．{ 也就是说,一点处有４个正 三角形,１个正六边形或２个正三角形,２个正六 边形,如图９．３Ｇ１②③． 正方形与正八边形: 假设在一点处有m 个正方形,n 个正八边形,应满 足９０m＋１３５n＝３６０,即２m＋３n＝８．它的正整数 解为 m＝１, n＝２．{ 也就是说,一点处有１个正方形,２个 正八边形,如图９．３Ｇ１④． ２５１ 　 正三角形与正十二边形: 假设在一点处有m 个正三角形,n 个正十二边形, 应满足６０m＋１５０n＝３６０,即２m＋５n＝１２．它的正 整数解为 m＝１, n＝２．{ 也就是说,一点处有１个正三角 形,２个正十二边形,图略． 用三种正多边形能铺满地面的情况 正三角形、正方形和正六边形等． 只要是两种以上的正多边形的内角能组成一个周角 且边长相等,就能铺满地面． 【例２】下列四种边长均为a 的正多边形:①正方形; ②正五边形;③正六边形;④正八边形．其中,选一种 能与边长为a 的正三角形组合铺满地面的有 (　　) A．４种　　　B．３种　　　C．２种　　　D．１种 解析:正三角形的每个内角是６０°． 序号 分析 结果 ① 正方形的每个内角是９０°,因为２×９０°＋ ３×６０°＝３６０°,所以①能 能 ② 正五边形的每个内角是１０８°,n􀅰１０８°＋ m􀅰６０°＝３６０°,显 然 当n 取 任 何 正 整 数 时,m 均不能得正整数 不能 ③ 正六边 形 的 每 个 内 角 是 １２０°,因 为 ２× １２０°＋２×６０°＝３６０°或 １２０°＋４×６０°＝ ３６０°,所以③能 能 ④ 正八边形的每个内角是１３５°,m􀅰１３５°＋ n􀅰６０°＝３６０°,显 然 当 m 取 任 何 正 整 数 时,n 均不能得正整数 不能 答案:C ３５１ １．用一个正方形、一个正五 边形、一个正十二边形能 否 铺 满 平 面? 请 说 明 理由． ２．某装饰材料加工厂有一 批 从 生 产 线 上 下 来 的