第五章 3 简单的轴对称图形-【教材解读】2024春七年级下册数学（北师大版)

第五章　生活中的轴对称 １８１　 ３　简单的轴对称图形 􀅰理解等腰三角形和等边三角形的轴对称性及有关性质,能运用性质解决有关 问题． 􀅰探索并了解线段垂直平分线的尺规作图、性质,并能利用它们解决实际问题． 􀅰探索并了解角平分线的尺规作图、性质,并能利用它们解决实际问题． 知识点一　等腰三角形的轴对称性 等腰三角形的性质 (１)等腰三角形是轴对称图形． (２)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上 的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等 腰三角形的对称轴． (３)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等 角”)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)应用“等边对等角”“三线合一”的前提是 在同一个等腰三角形中,不能乱用． (２)等腰三角形腰上的高、中线及其对角的平分线不 一定重合． 【例１】如图,在△ABC 中,已知AB＝AC,D 为BC 的 中点,∠BAD＝３５°,求∠C 的度数． A B CD 解 方法一:因为AB＝AC,D 为BC 的中点, 所以AD⊥BC,∠B＝∠C． (１)“等边对等角”是说明 角相等的常用方法． (２)“三线合一”可以说明 两条线段相等、两个角相等, 还可以说明两条线段之间的 垂直关系． 数学　七年级　下册 １８２　 0  0 在Rt△BAD 中,因为∠BAD＝３５°, 所以∠B＝９０°－∠BAD＝５５°, 所以∠C＝∠B＝５５°． 方法二:因为AB＝AC,D 为BC 的中点, 所以AD 是∠BAC 的平分线,∠B＝∠C． 因为∠BAD＝３５°, 所以∠BAC＝２∠BAD＝７０°, 所以∠C＝ １ ２ (１８０°－７０°)＝５５°． 知识点二　等边三角形的轴对称性 等边三角形的性质 (１)等边三角形是轴对称图形． (２)等边三角形的三个内角都相等,每个内角都等 于６０°． 【例２】如图,已知 AD 是等边三角形ABC 的中线, AE＝AD,求∠EDC 的度数． E A B CD 解 因为△ABC 是等边三角形, 所以AB＝AC,∠BAC＝∠C＝６０°． 因为AD 是△ABC 的中线, 所以∠DAC＝ １ ２∠BAC＝３０° ,AD⊥BC, 所以∠ADC＝９０°． 因为AE＝AD, 所以 ∠ADE ＝ ∠AED ＝ １ ２ (１８０°－ ∠DAC)＝ １ ２ (１８０°－３０°)＝７５°, 所以∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝９０°－７５°＝１５°．  (１)等腰三角形两腰上的 中线、高分别相等． (２)等腰三角形两底角的 平分线相等． (３)等腰三角形底边的中 点到两腰的距离相等． (４)等腰三角形底边上任 意一点到两腰的距离之和等 于一腰上的高的长度． (１)等边三角形有三条对 称轴,对称轴是等边三角形三 条角平分线所在的直线,也是 三条 中 线 和 三 条 高 所 在 的 直线． (２)等边三角形是特殊的 等腰三角形,具有等腰三角形 的所有性质． 第五章　生活中的轴对称 １８３　 知识点三　线段的轴对称性 １．线段的轴对称性 线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的 一条对称轴． ２．线段的垂直平分线 (１)文字语言:垂直于一条线段,并且平分这条线段的 直线,叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线)． (２)几何语言:如图,若直线l⊥BC,点D 是线段BC 的中点,则直线l是线段BC 的垂直平分线． 　　　  U(1) 
(2)
３．线段垂直平分线的性质 (１)文字语言:线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等． (２)几何语言:如图,若直线l是线段BC 的垂直平分 线,点A 是直线l上的一点,则AB＝AC． ４．作线段的垂直平分线 已知:如图,线段AB． 求作:线段AB 的垂直平分线． 作法:(１)如图①,分别以点A 和 点B 为圆心,以大于 １ ２AB 的长为 半径作弧,两弧相交于C,D 两点． ➝ A C B D 
(２)如图②,作直线CD． ➝ A C B D 
C.U E 6 EU , 3U3%  到线段两个端点距离 相 等的点在线段的垂直平分线上． A@. (１)作线段的垂直平分线 时,先作出两个点,再过这两 个点作直线． (２)第(１)步中一定要满 足条件“以大于１ ２AB 的长为 半径作弧”,否则两弧没有两 个交点,就无法画直线了． 数学　七年级　下册 １８４　 0  0 结论