第四章 5 利用三角形全等测距离-【教材解读】2024春七年级下册数学（北师大版)

数学　七年级　下册 １６０　 ５　利用三角形全等测距离 􀅰能利用三角形全等解决实际问题,体会数学与实际生活的密切关系． 􀅰能在解决问题的过程中,有条理地进行思考与表达． 知识点　利用三角形全等测两点间的距离 １．原理:利用三角形全等测距离实际上就是利用已有的 全等三角形或者是构造全等三角形来测距离．因为两 个三角形全等,对应边相等,因此,可根据全等三角形 的这一性质把难以测量或不能直接测量的线段转化 为容易测量的线段． ２．一般步骤: 第１步:连接所测两点,并依据“SAS”“ASA”“AAS” 构造两个全等三角形; 第２步:根据画图过程所得条件说明两个三角形全等; 第３步:测量与所测两点连成的线段相对应的边的长 度,然后根据全等三角形的对应边相等,求出所测两 点间的距离． 题型一　利用三角形全等测量物体的内径 A B O C D E F 【例１】在测量一个小口圆柱形容器的壁厚 (厚度均匀)时,小明用“X形转动钳”按如 图所示的方法进行测量,其中OA＝OD, OB＝OC,测得AB＝３cm,EF＝４cm, 圆柱形容器的壁厚是 (　　) A．２cm　　　　　B．１．５cm C．１cm D．０．５cm 思路分析 只要说明△AOB≌△DOC,可得 AB＝CD, 即可解决问题． 测量两点间的距离,常需 要考虑以这两点连接而成的 线段为边的三角形与另一个 已知边长的三角形全等,利用 全等三角形的对应边相等求 两点间的距离． "> 利用“X”形工具测内径 在测量物体的内径时,受 物体特殊形状的制约,不方便 直接测量,所以可利用三角形 全等 设 计 一 种“X”形 的 测 量 工具进行测量．我们在设计这 类工 具 时,一 般 是 把 点 O 放 在两条线段的中点处,这样根 据“SAS”可得两个 三 角 形 全 等,从而再利用全等三角形的 性质求解． 第四章　三角形 １６１　 解析 在 △AOB 和 △DOC 中,OA ＝OD,∠AOB ＝ ∠DOC,OB＝OC, 所以△AOB≌△DOC(SAS),所以CD＝AB＝３cm, 因为EF＝４cm, 所以圆柱形容器的壁厚是 １ ２× (４－３)＝０．５(cm)． 答案 D 题型二　利用三角形全等测量两点间的距离 【例２】如图,为了估算河岸相对的两点A,B 的距离,可 以在河岸边取 AB 的垂线BF 上的两点C,D,使 BC＝CD,再画出BF 的垂线DE,使E 与A,C 在一 条直线上,这时测得DE＝６０m,求河宽AB． A B C D F E 思路分析 由垂线的定义可得出∠ABC＝∠EDC＝９０°, 结合 BC＝DC,∠ACB＝∠ECD,即可说明△ABC ≌△EDC(ASA),利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 可 得 出 AB＝ED． 解 因为AB⊥BF,DE⊥BF, 所以∠ABC＝∠EDC＝９０°． 在△ABC 和△EDC 中, ∠ABC＝∠EDC,BC＝DC,∠ACB＝∠ECD, 所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB＝DE． 又因为DE＝６０m,所以AB＝６０m． 答:河宽AB 为６０m． 题型三　利用三角形全等设计测量方案 【例３】某中学七(２)班学生到野外参加活动．为测量一 池塘两端A,B 间的距离,设计了如下两种方案: A B B′ A′ O １．如图(示意图), AA′,BB′表 示 两 根 长 度 相 同 的木条,若O 是 AA′,BB′的 中 点,经 测 量 AB＝９cm,则容器的内径 A′B′的长是 cm． "> 运用转化思想轻松 解决实际问题 遇到生活中求距 离 的 问 题时,要根据实际问题中给定 的条件,把实际问题转化为数 学问题,利用所学的数学知识 求出两点间的距离,同时体会 数学在实际生活中的应用． ２．如图(示意图),小明站在堤 岸的点A 处,正对他的点S 处停有一艘渔船．他想知道 这艘渔船距离他有多远,于 是他沿堤岸走到大树B 处, 接着往前走相同的距离,到 达点 C 处．然 后 他 向 左 直 行,当看到大树与渔船在一 条直线上时停下来,此时他 位于点D 处．小明测得点C, D 间的距离为９０m,求在点 A 处时小明与渔船的距离． C D B A S 数学　七年级　下册 １６２　 方案一:如图①,先在平地上取一个可以直接到达A, B 的点C,连接AC,BC,并延长AC 至点D,延长BC 至点E,使DC＝AC,EC＝BC,最后测得D,E 间的 距离即A,B 间的距离． 图① 　　　 图② 方案二:如图②,先过点B 作AB 的垂线BF,在BF 上取C,D 两点,使BC＝DC,再过点D 作BF 的垂 线DE,交AC 的延长线于点E,则测得DE 的长即 A,B 间的距离． 阅读后回答下列问题: (１)方案一是否可行? 请说明理由． (２)方案二是否可