第三章 2 用关系式表示的变量间关系-【教材解读】2024春七年级下册数学（北师大版)

第三章　变量之间的关系 ９９　 0  0 　用关系式表示的变量间关系 􀅰探索某些图形中变量之间的关系,进一步体会一个变量对另一个变量的影响, 发展符号感． 􀅰能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系． 􀅰能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系． 知识点一　用关系式表示两个变量间的关系 １．关系式 一般地,含有两个未知数(变量)的等式就是表示这两 个变量之间关系的关系式．例如,若正方形的边长为 a,面积为S,则S＝a２ 就是表示S 和a 之间关系的关 系式,其中a 是自变量,S 是因变量． ２．关系式的基本特征 (１)关系式中只含有自变量和因变量这两个变量,其 他的量都是常量; (２)自变量可以在允许的范围内任意取值． ３．求两个变量之间关系式的常见类型 (１)利用公式写出变量之间的关系式,如三角形的面 积公式; (２)根据表格中的数据写出变量之间的关系式; (３)根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的 关系式,如销售量×(售价－进价)＝利润; (４)根据图象写出与之对应的变量之间的关系式(下 节将会学到)． ４．用关系式表示两个变量间关系的优缺点 (１)优点:①能准确地反映整个变化过程中因变量与 自变量的关系;②用关系式表示两个变量之间的关系 时,给定一个变量的值就可以求出另一个变量的值． (１)关系式一般是用含自 变量的代数式表示因变量的 等式．写 关 系 式 时,一 般 将 因 变量单独放在等号的左边,含 有自变量的代数式放在等号 的右边． (２)有些问题中,自变量 是有范围的,列关系式时要注 明自变量的取值范围． 
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*  U @x L<U E x 6 数学　七年级　下册 １００　 0  0 (２)缺点:在实际问题中,有的变量之间的关系不一定 能用关系式表示出来． 【例１】如图所示,在一个边长为１２cm 的正 方形的四个角都剪去一个大小相等的小 正方形,当小正方形的边长由小到大变化 时,图 中 阴 影 部 分 的 面 积 也 随 之 发 生 变化． (１)在这个变化过程中,自变量和因变量分别是什么? (２)如果小正方形的边长为xcm,图中阴影部分的面 积为ycm２,请写出y 与x 的关系式． 解 (１)因为当小正方形的边长由小到大变化时,题图中 阴影部分的面积也随之发生变化,所以小正方形的边 长是自变量,阴影部分的面积是因变量． (２)y＝１２２－４x２,即y＝１４４－４x２(０＜x≤６)．  知识点二　根据关系式求值 １．利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的 因变量的值,同样也可以根据任何一个因变量的值求 出相应的自变量的值． ２．根据关系式求值的两种情况 (１)已知自变量的值,利用关系式求因变量的值,相当 于求代数式的值; (２)已知因变量的值,利用关系式求自变量的值,相当 于解关于自变量的方程． 【例２】【建立模型】为了保护学生的视力,课桌椅的高度 都是按一定的比例配套设计的．研究表明:课桌的高 度随着椅子高度的变化而变化,它们之间的关系式可 近似地表示为y＝１．６x＋１１,其中,y(cm)表示课桌 的高度,x(cm)表示椅子的高度． 【模型应用】小明量得课桌的高度为８３cm,椅子的高 度为４５cm,请判断它们是否配套,并说明理由． 解 配套．理由如下: 方法一:因为当x＝４５时,y＝１．６×４５＋１１＝８３,所 以它们是配套的． 方法二:因为当y＝８３时,８３＝１．６x＋１１,解得x＝４５, 所以它们是配套的．   
 
  
 
"> 列关系式表示两个变量之 间的关系的一般步骤 (１)认真审题,理解两个 变量的实际意义,找出题目中 的已知条件; (２)确 定 题 目 中 的 等 量 关系; (３)结合题目的条件,用 含变量的代数式表示等量关 系中的一些量; (４)列出关系式． E+
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5U U 7 Fx  Fy y=2x1 A@. 根据关系式求值时,要分 清已知的是因变量还是自变 量,代入时不要混淆,计算要 准确． 第三章　变量之间的关系 １０１　 0  0 题型一　利用表格中的数据求两个变量间的关系式 【例１】某公交车每天的支出费用为６００元,每天的乘车 人数x 与利润y 的变化关系如下表所示(每位乘客 的乘车票价固定不变): x 􀆺 ２００ ２５０ ３００ ３５０ ４００ 􀆺 y/元 􀆺 －２００ －１００ ０ １００ ２００ 􀆺 根据表格中的数据,回答下列问题: (１)当每天的乘车人数达到多少时,该公交车才不会 亏