2024届高三数学二轮复习微重点突破练8：立体几何中的动态问题

微重点突破练8 立体几何中的动态问题 1．(多选)(2023·盐城模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面CDD1C1及其边界上运动，并保持BP⊥A1C，若正方体的边长为1，则A1P的可能取值是(　　) A. B. C. D. 2.(2023·枣庄模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP∥平面AB1C，则线段MP长度的取值范围为(　　) A. B. C. D. 3．(2023·青岛模拟)三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据．三面角P－ABC是由有公共端点P且不共面的三条射线PA，PB，PC以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A－PC－B为θ，由三面角余弦定理得cos θ＝.在三棱锥P－ABC中，PA＝6，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，∠APB＝90°，PB＋PC＝6，则三棱锥P－ABC体积的最大值为(　　) A. B. C. D. 4.(多选)(2023·杭州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点，则(　　) A．存在唯一点P，使得D1P⊥B1C B．存在唯一点P，使得直线D1P与平面ABCD所成的角取到最小值 C．若＝，则三棱锥P－BB1C外接球的表面积为8π D．若异面直线D1P与A1B所成的角为，则动点P的轨迹是抛物线的一部分 5．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则(　　) A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值 C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P 6.(多选)(2023·淮安模拟)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝1，E，F分别是棱BC，AC上的动点(不包括端点)，且满足EF＝，则下列结论正确的是(　　) A．存在点E，使得∠B1EF＝90° B．直线EF与A1B1异面 C．三棱锥C－B1EF体积的最大值为 D．二面角E－B1C1－F的最大值为60° 7.(多选)(2023·武汉模拟)如图，在棱长为2的正四面体P－ABC中，D，E分别为AB，AC上的动点(不包含端点)，F为PC的中点，则下列结论正确的有(　　) A．DE＋EF的最小值为 B．DF的最小值为 C．若四棱锥F－BDEC的体积为，则DE的取值范围是 D．若·＝，则CE＝1 8.(多选)如图是四棱锥P－ABCD的平面展开图，四边形ABCD是矩形，ED⊥DC，FD⊥DA，DA＝3，DC＝2，∠FAD＝30°.在四棱锥P－ABCD中，M为棱PB上一点(不含端点)，则下列说法正确的有(　　) A．DM的取值范围是 B．存在点M，使得DM⊥BC C．四棱锥P－ABCD外接球的体积为 D．三棱锥M－PAD的体积等于三棱锥M－PCD的体积 参考答案 1．BC　2.A　3.C 4．BCD　[对于A选项，在正方形BCC1B1中，有BC1⊥B1C，正方体中有AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，所以AB⊥B1C， 又BC1∩AB＝B，BC1，AB⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1， 只要D1P⊂平面ABC1D1，就有D1P⊥B1C，P在线段AB上，有无数个点，故A错误； 对于B选项，D1D⊥平面ABCD，直线D1P与平面ABCD所成的角为∠D1PD，D1D＝2，∠D1PD取到最小值时，PD最大，此时点P与点B重合，故B正确； 对于C选项，若＝，则P为DB的中点，△PBC为等腰直角三角形，外接圆半径为BC＝1，三棱锥P－BB1C外接球的球心到平面PBC的距离为BB1＝1，则外接球的半径为，所以三棱锥P－BB1C外接球的表面积为8π，故C正确； 对于D选项，以D为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)， 设P(x，y,0)(0≤x≤2,0≤y≤2)， 则有＝(x，y，－2)， ＝(0,2，－2)， 则|cos〈，〉|＝ ＝＝cos＝， 化简得x2＝4y，P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点，所以动点P的轨迹是抛物线的一部分，故D正确．] 5．BD　[＝λ＋μ(0≤λ≤1，0≤μ≤1)． 图1 对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图1所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝＋＋＝＋＋，不是定值，故A错误； 对于选项B，当μ＝