2024届高三数学二轮复习微重点突破练6：子数列与增减项问题

微重点突破练6 子数列与增减项问题 1．(2023·池州模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝a＋2an－3(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)将数列{an}和数列{2n}中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前100项和． 2．数列{an}满足anan＋1＝2n，a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前2n项和S2n. 3．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 4．(2023·天津模拟)设数列{an}的前n项和为Sn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，抽去数列{bn}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n－2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，求{cn}的前2 023项和T2 023. 参考答案 1．解　(1)依题意an>0，当n＝1时， 解得a1＝3,4Sn＝a＋2an－3， 当n≥2时，有4Sn－1＝a＋2an－1－3， 作差得，4an＝a－a＋2an－2an－1， ∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0(n≥2)， ∵an＋an－1>0， ∴an－an－1＝2(n≥2)， ∴数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， ∴an＝2n＋1，n∈N*. (2)由(1)得，a100＝201， 又27<201<28，同时a93＝187>27， ∴b100＝a93， ∴b1＋b2＋…＋b100＝(a1＋a2＋…＋a93)＋(21＋22＋…＋27) ＝＋＝9 089. 所以{bn}的前100项和为9 089. 2．解　(1)∵anan＋1＝2n，① ∴an＋1an＋2＝2n＋1，② 得＝2， 当n为奇数时，a1，a3，…，an成等比数列， ∴an＝a1·－1＝， 当n为偶数时，a2，a4，…，an成等比数列， 将a1＝1代入①得a2＝2， an＝a2·＝2·＝， 故有an＝ (2)S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3(2n－1)． 3．解　(1)由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q， 依题意有解得a1＝2，q＝2或a1＝32，q＝(舍)， 所以an＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)方法一　由题意知，2n≤m， 即n≤log2m， 当m＝1时，b1＝0. 当m∈[2k,2k＋1－1)时，bm＝k，k∈N*， 则S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100) ＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37＝480. 所以数列{bn}的前100项和S100＝480. 方法二　由题意知bm＝k，m∈[2k,2k＋1)， 因此当m＝1时，b1＝0； 当m∈[2,4)时，bm＝1； 当m∈[4,8)时，bm＝2； 当m∈[8,16)时，bm＝3； 当m∈[16,32)时，bm＝4； 当m∈[32,64)时，bm＝5； 当m∈[64,128)时，bm＝6. 所以S100＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b100 ＝0＋(1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋(6＋6＋…＋6) ＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37＝480. 所以数列{bn}的前100项和S100＝480. 4．解　(1)由Sn＝(n－1)2n＋1＋2， 得a1＝2， Sn－1＝(n－2)2n＋2(n≥2)， 两式相减得an＝n·2n， 当n＝1时，代入上式，求得a1＝2， 所以an＝n·2n(n∈N*)． (2)由题知，bn＝＝2n，所以数列{cn}为22,23,25,26,28,29，…， 它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列； 偶数项组成以8为首项，8为公比的等比数列， 所以T2 023＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2 023)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2 022)＝＋ ＝＋ ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$