浙江省湖州市第二中学2023-2024学年高三上学期期中测试数学试卷

2024年浙江省湖州二中高三第一学期期中测试 满分150分,考试时间120分钟 请在答题卡正确位置填写答案 一、单选题(1-8题为单选题,每小题只有一个正确选项,每小题5分,共40分) 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 2.已知非零向量,,满足,,若为在上的投影向量,则向量,夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 3.设(为虚数单位)为复数,则下列说法正确的是( ) A.若是纯虚数,则或 B.复数模长的平方值等于复数的平方值 C.若的模长为,则的最大值为 D.若,则 4.若数列满足,,则满足不等式的最大正整数为( ) A.28 B.29 C.30 D.31 5.甲箱中有个红球,个白球和个黑球;乙箱中有个红球,个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以表示由乙箱中取出的球是红球的事件,则下列结论错误的是( ) A. B. C.事件与事件不相互独立 D.、、两两互斥 6.设函数若恰有5个不同零点,则正实数的范围为( ) A. B. C. D. 7.对于平面上点和曲线,任取上一点,若线段的长度存在最小值,则称该值为点到曲线的距离,记作.下列结论中正确的个数为( ) ①若曲线是一个点,则点集所表示的图形的面积为; ②若曲线是一个半径为的圆,则点集所表示的图形的面积为; ③若曲线是一个长度为的线段,则点集所表示的图形的面积为; ④若曲线是边长为的等边三角形,则点集所表示的图形的面积为. A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知数列{an}满足,对于函数f(x)=x|x|,定义F(n)=. ①若{an}为等比数列,则F(n)>0恒成立; ②若{an}为等差数列,则F(n)>0恒成立. 关于上述命题,以下说法正确的是( ) A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确,②错误 D.①错误,②正确 二、多选题(9-12题为多选题,每小题有2-4个正确选项,全部选对得5分,部分选对得2分,共20分) 9.如图所示,棱长为3的正方体中,为线段上的动点(不含端点),则下列结论正确的是( ) A. B.与所成的角可能是 C.是定值 D.当时,点到平面的距离为1 10.已知的内角所对的边分别为,下列四个命题中正确的是( ) A.若,则一定是等腰三角形 B.若,则是等腰三角形 C.若,则一定是等边三角形 D.若,则是直角三角形 11.已知双曲线C:的左焦点为F,P为C右支上的动点,过P作C的一条渐近线的垂线,垂足为A,O为坐标原点,则下列说法正确的是( ) A.点F到C的一条渐近线的距离为2 B.双曲线C的离心率为 C.则P到C的两条渐近线的距离之积大于4 D.当最小时,则的周长为 12.已知函数为定义在上的偶函数,,且,则( ) A. B.的图象关于点对称 C.以6为周期的函数 D. 三、填空题(13-16题为填空题,请在空白处填出正确答案,每小题5分,共20分) 13.已知,若存在使得,则k的最大值为 . 14.已知空间一个平面与一个正方体的12条棱所成的角都等于, 则= . 15.若平面上的三个单位向量、、满足,,则的所有可能的值组成的集合为 . 16.若存在实常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足和恒成立,则称直线为和的“隔离直线”.已知函数,,,则有下列命题: ①与有“隔离直线”; ②和之间存在“隔离直线”,且的最小值为; ③和之间存在“隔离直线”,且的取值范围是; ④和之间存在唯一的“隔离直线”. 其中真命题的序号为 .(请填上所有正确命题的序号) 四、解答题(17-22题为解答题,17题10分,18-22题每题12分,请在答题纸固定位置填入答案和解答步骤,共70分) 17.(本题10分)2023年10月22日,汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行,志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障,襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数; (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人,担任本市的宣传者. 若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70,据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差. 18.已知四棱锥,底面为平行四边形,,,,. (1)证明:平面; (2)若,求二面角的正弦值. 19.在锐角中,设边所对的角分别为,且. (1)证明: (2)若,求的取值范围. 20.已知椭圆