数学建模：认识数学模型2数学模型-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第2节 数学模型 人们经常使用模型的思想来认识世界和改造世界．大家在儿时玩的玩具娃娃、玩具汽车和玩具飞机等无一不是现实生活中真实事物的模型．我们所说的模型都是针对原型而言的．所谓原型是指人们在社会活动和生产实践中所关心和研究的实际对象，如刚出生不久的婴儿、马路上跑的汽车、天空中飞行的飞机．模型实际上就是原型的一个简化和抽象．我们所玩的模型飞机除了飞机的形状以及机翼与机身的相对位置关系外的一切因素，包括飞机机舱、发动机，甚至于实际大小的尺寸都在抽象的过程中被忽略掉了．虽然它与真实的飞机已经相去甚远，但是在飞行过程中机翼的位置与形状如何影响飞机在空中平稳地滑翔可以给人们以启迪．一个城市的交通图是这个城市的一个模型，在这个模型中城市的人口、车辆、树木、建筑物的高度等都不重要．但图中所展示的街道和一目了然的公共交通线路是任何一个实际置身于城市中的人都很难搞清楚的．由此可见模型一定来源于原型，但它不是对原型的简单模仿，它是人们为了认识和理解原型而对它所作的一个简化、抽象和升华．有了它就可以使我们通过对模型的分析和研究来加深对原型的理解和认识．应该说，模型是人们为一定的目的对原型所进行的一个抽象和升华． 所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象所作的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象． 数学模型不是对现实系统的简单模仿，它是人们深入地认识现实系统和解决实际问题的工具．数学模型是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译而得到的结果．它使用数学语言准确地表达对象的内在特征．通过数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究的实际问题的认识． 对于初学者来说，数学模型是一个较难驾驭的课题，它的处理于法相当灵活．要掌握数学模型，最好的办法是实践，开始阶段不要急于尝试工业上或科学技术上复杂的建模问题．在我们的现实生活中就有许多值得我们思考的问题，其中不少既简单又实用，是我们学习数学模型的好材料．上一节我们列举了几个身边常见的数学问题，实际上全都是数学模型的实例．这一节我们将再列举若干例题展现给大家，使大家了解实践中的数学模型是什么样子的，以利于大家去发现我们的模型．例题所讨论的都是一些生活中极普通的问题，不需要你具有多少实际的专业背景和过深的数学知识及方法就可以着手去尝试．但它又不同于大家在数学课中所学的应用题，它不是以某些数学知识为中心虚构一些背景编纂出来的，而是都有其实际背景．例题中大多都可以找到另外的研究方法，这在数学建模中是不奇怪的．就像我们在例1.2.1中将要看到的那样，也许我们会发现更巧妙的思路来改进例1.2.1所得到的结论，这都是很正常的． 例1.2.1 哥尼斯堡的七桥问题 这是一个典型的数学模型问题．现今属于俄罗斯的加里宁格勒，在18世纪时被称为哥尼斯堡，当时是东普鲁士的首府，是一座历史名城．位于波罗的海东岸，与波兰和立陶宛为邻，是俄罗斯的一块飞地． 哥尼斯堡城风景秀美，碧波荡漾的普雷格尔河穿过该域，河中心有一座美丽的小岛． 普雷格尔河有两条支流，它们在市中心汇合成一条大河并且把包含岛区在内的全城分为4个区域：岛区（A），西区(B），南区CC）和北区CD）．有7座桥横跨普雷格尔河及其支流，将这4个区域连在了一起（图1.2.2）． 这一别致的桥群，古往今来，吸引着众多的游人在这里散步游览．当地居民曾经热衷于讨论下面的有趣的问题：能否找到一条路线，使得散步时可以不重复地走遍这7座桥？ 这个问题引起了许多人的兴趣，但结果没有一个人取得成功．不是少走了一座桥，就是重复走了一座桥． 18世纪30年代瑞士年轻的数学家欧拉知道了这个问题，经过思考，他认为问题中岸边的楼群、树木、陆地和岛的形状及大小与问题没有关系，同样，河流、河岸的形状、桥的长短也与问题无关．重要的是陆地、岛与桥之间的位置关系．于是欧拉就把陆地和岛都抽象成“点”，把连接陆地的桥抽象成“点之间的连线”．这时由河流分割的4块陆地抽象为4个点，连接4块陆地的7座桥抽象为连接这4个点的7条线．实际问题中的陆地、河流和桥梁等景观都不见了，剩下的是纯数学的、只有点和线相互连接的“图”（图1.2.3）．欧拉就是利用这幅简单的“图”很巧妙地解决了哥尼斯堡七桥的旅游线路问题． 这就是著名的哥尼斯堡七桥问题的数学模型．图1.2.3给出的模型与图1.2.1给出的哥尼斯堡的普雷格尔河与桥的实景的直观感觉是截然不同的，但是使用图1.2.3就可以非常简单明了地解答所提出的问题． 例1.2.2 赛程安排（全国大学生数学建模竞赛2002年D题） 5支足球队在同一场地上进行足球比赛．进行单循环比赛，也就是说这5支球队的每两支球队在这次比赛中都要结对比赛1次．共进行10场比赛，在连续的10天中每天比赛1场．则如何安排比赛的赛程对各队来说都是公平的？ 这是一个学生生活中经常会遇