第8章 2 数学建模的主要步骤-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

§2　数学建模的主要步骤 知识点　数学建模的主要步骤 1.包汤圆问题 通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆．今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个(小一些)，还是少包几个(大一些)? 问题　圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆．若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v. 假设　(1)皮的厚度一样；(2)汤圆的形状一样． 模型　 应用　V＝(nv)≥nv，V是nv的倍． 假设原来1公斤馅包100个汤圆，现在用包2个汤圆的皮包1个大汤圆，即共包50个大汤圆，这时所需的馅应该是原来馅的倍，即约1.4公斤馅． 2．运输问题 问题提出 如图，铁矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路a千米，B距铁路b千米，现要在铁路上建两座火车站C，D．A处的铁矿石先由公路运到C处，再经铁路运到D处，最后经公路运到B处结束．由A，B向MN作垂线得点E，F，且线段EF的长度为l(很长)千米，公路中汽车速度为u千米/小时，铁路中的火车速度为v千米/小时(u＜v)．为使运输时间最短，火车站应建在什么位置？ 模型假设 (1)铁矿石装车卸车的时间忽略不计； (2)汽车和火车均可随时出发，且匀速行驶． 模型求解 设EC＝x，则AC＝. 暂不考虑车站D，从A经C到F的时间t＝＋. 整理得x2＋x＋2－＝0，　① 因为x为实数， 所以Δ＝2－≥0， 化简得2≥a2， 因为t－＞0，所以t≥＋， 所以tmin＝＋. 代入①，整理得 (v2－u2)x2－2aux＋a2u2＝0， 解得x＝. 即C站距离E为千米． 因为它与l无关，故用同样的方法可以得到D站距离F为y＝千米． 因为l很大，所以x＋y＜l. 所以火车站C应建在距离点E千米处， 火车站D应建在距离点F千米处． 解答题 1．买水果问题 平时与大人上街买水果时，一个习以为常的，一代教诲一代的做法是：在市场上买桃子、梨子、苹果时，一般总是先从大的挑选，这种购买方法是合算的，但为什么呢？恐怕很少人会去考虑．下面我们用数学建模的知识解释这种做法的合理性． 实际模型：考虑到外界对这三种水果表皮的污染，从食用卫生的角度出发，一般是去皮后食用，买这三种水果是按重量付钱的，而无论它们的大小如何，其各自的比重是一样的，则重量相等必定体积相等．因此在体积一定的条件下，当然是水果的表面积(皮)之和越小越好． 数学模型：是否重量相等的桃子、梨子、苹果，个数越少，其表面积之和越小呢？于是我们将这三种水果近似看成球体，并且暂不考虑核对食用体积的影响来研究它．从而就三种水果中某种而言，其对应的数学模型为： 设甲、乙两堆体积相等的球，甲堆有球m个，半径分别为r1，r2，…，rm，乙堆有球n(n≤m)个，半径分别为R1，R2，…，Rn，其中Ri≥max{r1，r2，…，rm}，i＝1,2，…，n，求证：甲堆球的表面积之和不小于乙堆球的表面积之和． 模型准备：这个问题涉及球的表面积和体积的计算公式，设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，球的体积V＝πR3. 模型求解：该模型求解实际上是在两堆体积相等的前提下，即： (r＋r＋…＋r)＝(R＋R＋…＋R)， 其中Ri≥max{r1，r2，…，rm}，i＝1,2，…，n，证明不等式： 4π(r＋r＋…＋r)≥4π(R＋R＋…＋R)． 假设：4π(r＋r＋…＋r)<4π(R＋R＋…＋R)，则有： r＋r＋…＋r<R＋R＋…＋R， 而(R＋…＋R)(R1＋…＋Rn)＝R＋…＋R＋R1(R＋R＋…＋R)＋…＋Rn(R＋…＋R)， 又因为RiR＋RRj≤R＋R(i，j∈N＋，i≠j)， 所以有(R＋…＋R)(R1＋…＋Rn)≤R＋…＋R＋(n－1)·(R＋R＋R＋…＋R)，即有： R＋R＋…＋R≥(R＋…＋R)(R1＋…＋Rn) >(r＋…＋r)(R1＋…＋Rn) ≥(r＋…＋r)min{R1，…，Rn} ≥(r＋…＋r)max{r1，r2，…，rm} ≥r＋…＋r， 即有：(R＋…＋R)>(r＋…＋r)，这与题设矛盾，于是有：4π(r＋r＋…＋r)≥4π(R＋R＋…＋R)． 模型检验：这一结论与我们实际做法吻合． 模型深化：据日常经验可视果核大小与桃子、梨子、苹果的大小成正比，则一定重量的桃子、梨子、苹果其核亦应相等．因此买这三种水果先从最大的挑选起是不会吃亏的．按它们的大小定价也是合理的．如果它们不去皮食用，那么上述讨论无意义．且上述模型及研究对于球形去皮食用水果都是适用的． 2．搭砖块问题 问题：将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离？ 模型准备：这个问题涉及重心的概念，关于重心的结果有：设xOy平面上有n个质点，它们的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，对应的质量分别为m1，m2，…，mn，则该质点系的重心坐标(，)满足的关系式为 ＝，＝.(注：xi＝x1＋x2＋…＋xn) 模型假设：(1)所有砖块的长度和重量均为一个单位； (2)参与叠放的砖块有足够多； (3)每块砖块的密度都是均匀的，密度系数相同； (4)最底层的砖块可以完全水平且平稳地放在地面上． 模型求解：(1)考虑两块砖块的叠放情况对只有两块砖块的叠放，注意到此时叠放后的砖块平衡主要取决于上面的砖块，而下面的砖块只起到支撑作用，假设在叠放平衡的前提下，上面砖块超过下面砖块右端的最大前伸距离为x，选择下面砖块的最右端为坐标原点，建立如图所示的坐标系，因为砖块是均匀的，所以它的重心在其中心位置，且其质量可以认为是集中在重心的，于是每个砖块可以认为是质量为1且其坐标在重心位置的质点，因为下面的砖块总是稳定的，要想上面的砖块与下面的砖块离开最大的位移且不掉下来，则上面的砖块重心应该恰好在底下砖块最右端位置，因此可以得到上面砖块在位移最大且不掉下来时的重心水平坐标为x＝0(因为砖块的长度是1)，于是上面的砖块可以向右前伸的最大距离为. (2)考虑n＋1块砖块的叠放情况 两块砖块的情况解决了，如果再加一块砖块，叠放情况如何呢？如果增加的砖块放在原来两块砖块的上边，那么此砖块是不能再向右前伸了(为什么)，除非再移动底下的砖块，但这样会使问题复杂化，因为这里讨论的是建模问题，不是搭砖块的问题，为了便于问题的讨论，把前两块搭好的砖块看作一个整体且不移动它们的相对位置，而把增加的砖块插入在最底层的砖块下方，于是问题又归结为两块砖块的叠放问题，不过这次是质量不同的两块砖块的叠放问题，这个处理可以推广到n＋1块砖块的问题，即假设已经叠放好n(n>1)块砖块后，再加一块砖块的叠放问题． 下面就n＋1(n>1)块砖块的叠放问题来讨论，假设增加的一块砖块插入最底层，选择底层砖块的最右端为坐标原点建立如图所示的坐标系．考虑上面的n块砖块的重心关系，把上面的n块砖块分成两部分：从最高层开始的前n－1块砖块，记它们的水平重心为x1，总质量为n－1；与最底层砖块相连的第n块砖块，记它的水平重心为x2，质量为1. 此外，把上面的n块砖块看作一个整体，并记它的重心水平坐标为，显然n块砖块的质量为n，那么，在保证平衡的前提下，上面n块砖块的水平重心应该恰好在最底层砖块的右端，即有＝0，假设第n块砖块超过最底层砖块右端的最大距离为z，同样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前n－1块砖块的重心水平坐标x1＝z，于是在上图的坐标下，第n块砖块的水平重心坐标为x2＝z－，故由重心的关系，有＝＝＝0. z·(n－1)＋＝0⇒z＝. 于是，对3块砖块(即n＝2)的叠放有，第3块砖块的右端到第1块砖块的右端距离最远可以前伸＋； 对4块砖块(n＝3)的叠放有，第4块砖块的右端到第1块砖块的右端距离最远可以前伸＋＋； 对n＋1块砖块的叠放，设从第n＋1块砖块的右端到第1块砖块的右端最远距离为dn＋1，则有dn＋1＝＋＋…＋， 因为dn＋1＝＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋，所以当n→＋∞时，有dn＋1→＋∞，这说明随着砖块数量的无限增加，最顶层的砖块可以前伸到无限远的地方． 简评：本题给出的启示是：当问题涉及较多对象时，对考虑的问题进行合理的分类往往使问题变得清晰．此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能． 学科网（北京）股份有限公司 $$