8.1走近数学建模、8.2数学建模的主要步骤 课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修 第一册

§1　走近数学建模 §2　数学建模的主要步骤 第八章　数学建模活动(一) 1．什么是数学模型 数学模型是对现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构． 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述)，即用数学式子(如函数、图形、代数方程等)来描述(表述、模拟)所研究的客观现象或系统在某一方面的存在规律． 2．什么是数学建模 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解． 数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学语言、方法去近似地刻画该实际问题，这种刻画的数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程. 数学模型一经提出，就要用一定的技术手段(计算、证明等)来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起了一个高潮. 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一． 3．数学建模的主要步骤 数学建模活动的基本过程如下： 从包汤圆说起 通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆 今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应该包小一些，还是包大一些将这些馅仍用1公斤面包完呢？ 问题的本质就是利用同样面积的汤圆皮包更多的馅，汤圆包大一些时，汤圆的个数就会减少，汤圆包小一些时，汤圆的个数就会增多，也就是可以将问题转化为：总表面积一定的n个球体，当n取多少的时候可以使得所有球体的总体积最大。 在解决这个问题的时候，可以把问题进一步抽象到把得到的总体积与n=1时的情况比较 问题分析 1、皮的厚度一样 2、汤圆的形状一样 假设 S V s v s v s v … V和nv哪个大？ 定性分析 当n=1时，大球体，表面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若分成n个皮，每个表面积为s，包成体积为v汤圆 建立模型 S= V= s= v= S=ns V=K v=K V=v V=(nv)≥nv V是nv的倍 求解模型 由上式可以得到结论，球体个数少，即n值越小，所有球体的体积和最大，所以应该是把汤圆包大一点 检验模型 是否符合生活实际？ (2)问题分析 问题：10万元资金存储n(n＝1,2,3,4,5,6)年后获收益最大的存款策略？ 当n＝1时，存1年定期；当n＝2时，存2年定期；当n＝3时，存3年定期；当n＝4时，存3年定期1次，1年定期1次；当n＝5时，存3年定期1次，2年定期1次；当n＝6时，存3年定期2次． (3)模型假设 假设：①存款期限内利率不变；②利息按复利计算． (4)模型建立 设存款数x(元)，收益y(元)，则 　　　　存期 收益y 存入款数　　 一年期 二年期 三年期 x 1.5%x 2×2.1%x＝4.2%x 3×2.75%x＝8.25%x 定期存款年限越长，利率越大． 10万元资金存储6年后获收益最大的存款策略：存3年定期2次． 6年后的本息和：10×(1＋3×2.75%)2＝11.718 06(万元)， 收益：y＝11.718 06－10＝1.718 06(万元)＝17 180.6(元)． 检验模型 存一年定期六次 10×(1＋1.5%) 6＝10.93443(万元) 收益：10.934432-10=0.93443（万元）=9344.3（元） 存两年定期三次 10×(1＋2×2.1%)3 ＝11.31366(万元) 收益：11.31366-10=1.31366（万元）=13136.6（元） 17 180.6元>131336.6元>9344.3元 如果先存一定定期，再存两年定期，最后存三年定期呢？ 5．数学建模的重要意义 (1)在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地． 在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题(如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等)迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段． (2)在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具． 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段．数学建模、数值计算和计算机图形等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一． (3)数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地． 随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生．在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地．马克思说过，一门科学只有成功运用数学时，才算达到了完善的地步. 展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期． 教材分析 数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容做具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而“3.2函数模型及其应用”一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建模实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，弥补教材的这一不足 学情分析 高一学生在进入本节课的学习之前，已经学习了函数的相关知识 教学目标 1、初步理解数学模型、数学建模两个概念 2、掌握数学建模的基本步骤 3、经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法 4、感受数学的使用价值，增强应用意识 教学重难点 数学建模的基本步骤 教学过程设计 一、导入 数学建模、数学模型的概念 数学建模的步骤 二、新课讲授 提出实际问题 做出相应的问题假设（如汤圆的皮厚度一样，汤圆的形状一样） 问题分析，转化为数学问题 建立数学模型 求解模型，解释结果，获得结论 是否符合实际 三、课堂巩固 完成最佳存款问题 四、课堂小结 概括总结数学建模的步骤 数学建模的意义 五、作业布置 谢谢观看！ 4．生活中数学建模的实例 最佳存款问题 (1)提出问题 中国人民银行经过几次调整存款利率，2020年银行整存整取的年利率如下表： 一年期 二年期 三年期 1.5% 2.1% 2.75% 现在一名刚升入七年级的学生，家长欲为其存10万元，以供6年后上大学使用. 请设计一种存款方案，使6年后所获收益最大，并求出最大收益．(结果精确到0.1元) $$